Calcule o campo elétrico \mathbf{E} em coordenadas esféricas, utilizando o laplaciano do potencial, para uma distribuição esférica de cargas de raio R com densidade uniforme \rho, para pontos: (a) r<\mathrm{R} (dentro) e (b) r>\mathrm{R} (fora) da esfera. (Valor. 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico \mathbf{E}(r) de uma esfera de raio R com densidade volumétrica uniforme \rho, usando o potencial e a equação de Poisson/Laplace em coordenadas esféricas. Vamos aproveitar que o problema é totalmente esférico (dependência só de r) e usar
\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \quad\text{(dentro, \(r<R\))},
\nabla^2 V = 0 \quad\text{(fora, \(r>R\))},
além das condições de contorno: V finito em r=0, V\to0 em r\to\infty e continuidade de V em r=R. Depois obtemos \mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 2

Para r<R a equação de Poisson, em simetria radial, é
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dV}{dr}\Bigr) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}.
Integramos em r:
r^2\frac{dV}{dr} = -\frac{\rho}{3\epsilon_0}r^3 + C_1, \quad \frac{dV}{dr} = -\frac{\rho}{3\epsilon_0}r + \frac{C_1}{r^2}.
Para V finito em r\to0 deve valer C_1=0. Então
\frac{dV}{dr} = -\frac{\rho}{3\epsilon_0}r \quad\Longrightarrow\quad V(r) = -\frac{\rho}{6\epsilon_0}r^2 + C_2.

Passo 3

Para r>R não há carga e temos a equação de Laplace
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dV}{dr}\Bigr) = 0.
Integrando:
r^2\frac{dV}{dr} = C_3, \quad \frac{dV}{dr} = \frac{C_3}{r^2}, \quad V(r) = -\frac{C_3}{r} + C_4.
Como queremos V\to0 em r\to\infty, fica C_4=0.

Passo 4

A continuidade de V em r=R
-\frac{\rho}{6\epsilon_0}R^2 + C_2 = -\frac{C_3}{R}.
Além disso, o campo externo deve coincidir com o de uma carga total
\displaystyle Q = \rho\frac{4\pi R^3}{3}, isto é
\mathbf{E}(r>R)=Q/(4\pi\epsilon_0r^2)\,\hat r. Comparando com
\displaystyle E = -\frac{dV}{dr} = \frac{C_3}{r^2}, obtemos
\displaystyle C_3 = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} = -\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0}.

Passo 5

Substituindo C_3 na continuidade:
-\frac{\rho R^2}{6\epsilon_0} + C_2 = \frac{\rho R^2}{3\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0}.
Logo o potencial completo é
V(r) = \begin{cases} -\dfrac{\rho}{6\epsilon_0}r^2 + \dfrac{\rho R^2}{2\epsilon_0}, & r<R,\\[8pt] -\bigl(-\dfrac{\rho R^3}{3\epsilon_0}\bigr)\dfrac{1}{r} = \dfrac{\rho R^3}{3\epsilon_0\,r}, & r>R. \end{cases}]

Passo 6

O campo elétrico radial sai de \displaystyle E(r)=-\frac{dV}{dr}:
Para r<R:
E(r) = -\frac{d}{dr}\Bigl[\!-\tfrac{\rho}{6\epsilon_0}r^2 + \tfrac{\rho R^2}{2\epsilon_0}\Bigr] = \frac{\rho}{3\epsilon_0}\,r.
Para r>R:
E(r) = -\frac{d}{dr}\Bigl[\tfrac{\rho R^3}{3\epsilon_0\,r}\Bigr] = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0\,r^2}.

Resposta

\mathbf{E}(r) \;=\; \begin{cases} \dfrac{\rho}{3\epsilon_0}\,r\,\hat r, & r<R,\\[8pt] \dfrac{\rho R^3}{3\epsilon_0\,r^2}\,\hat r, & r>R. \end{cases}]

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