Calcule o campo elétrico \mathbf{E} em coordenadas esféricas, utilizando o laplaciano do potencial, para uma distribuição esférica de cargas de raio R com densidade uniforme \rho, para pontos: (a) r<\mathrm{R} (dentro) e (b) r>\mathrm{R} (fora) da esfera. (Valor. 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico \mathbf{E}(r) de uma esfera de raio R com densidade volumétrica uniforme \rho, usando o potencial e a equação de Poisson/Laplace em coordenadas esféricas. Vamos aproveitar que o problema é totalmente esférico (dependência só de r) e usar
\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \quad\text{(dentro, \(r<R\))},
\nabla^2 V = 0 \quad\text{(fora, \(r>R\))},
além das condições de contorno: V finito em r=0, V\to0 em r\to\infty e continuidade de V em r=R. Depois obtemos \mathbf{E}=-\nabla V.
Passo 2
Para r<R a equação de Poisson, em simetria radial, é
Além disso, o campo externo deve coincidir com o de uma carga total \displaystyle Q = \rho\frac{4\pi R^3}{3}, isto é \mathbf{E}(r>R)=Q/(4\pi\epsilon_0r^2)\,\hat r. Comparando com \displaystyle E = -\frac{dV}{dr} = \frac{C_3}{r^2}, obtemos \displaystyle C_3 = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} = -\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0}.