Em coordenadas esféricas, a referência para tensões acha-se em r=15 \mathrm{~mm}, enquanto em r=200 \mathrm{~mm} apresenta \mathrm{V}=\mathrm{V}_{0}. Dado que \mathbf{E}=-334,7 \hat{r} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, encontre o valor de \mathrm{V}_{0}. O potencial é função apenas de r. (valor. 1.5 pontos)

Passo 1

O enunciado diz que temos em coordenadas esféricas um campo elétrico radial constante
\mathbf{E}(r) = -334{,}7\,\hat r\;\mathrm{V/m},
o potencial V depende só de r, foi escolhida a referência de potencial em r=15\;\mathrm{mm} (isto é, V(15\;\mathrm{mm})=0) e nos pedem o valor de V em r=200\;\mathrm{mm}, que chamamos de V_{0}.

Passo 2

A relação entre campo elétrico e potencial em coordenadas esféricas, para dependência só em r, é
E_{r} = -\frac{dV}{dr}.
Aqui E_{r}=-334{,}7, logo
-334{,}7 = -\frac{dV}{dr} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dr} = 334{,}7.

Passo 3

Integramos em r para achar V(r):
V(r) = \int 334{,}7\,dr = 334{,}7\,r + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição de referência V(15\;\mathrm{mm})=0. Convertendo para metros, r_{1}=15\;\mathrm{mm}=0{,}015\;\mathrm{m}. Então
0 = V(0{,}015) = 334{,}7\times0{,}015 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -334{,}7\times0{,}015 = -5{,}0205\;\mathrm{V}.

Passo 5

Agora calculamos V em r_{2}=200\;\mathrm{mm}=0{,}200\;\mathrm{m}:
V_{0} = V(0{,}200) = 334{,}7\times0{,}200 - 5{,}0205 = 66{,}94 - 5{,}0205 = 61{,}9195\;\mathrm{V}.

Resposta

V_{0}\approx61{,}9\;\mathrm{V}

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