Verifique que os cinco primeiros polinômios de Legendre são:
\begin{aligned} & P_{0}(\cos \theta)=1 \\\ & P_{1}(\cos \theta)=\cos \theta \\\ & P_{2}(\cos \theta)=\frac{1}{2}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) \\\ & P_{3}(\cos \theta)=\frac{1}{2}\left(5 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\right) \\\ & P_{4}(\cos \theta)=\frac{1}{8}\left(35 \cos ^{4} \theta-30 \cos ^{2} \theta+3\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que os polinômios de Legendre P_{n}(x) para n=0,1,2,3,4, avaliados em x=\cos\theta, são
P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x,\quad P_{2}(x)=\tfrac12(3x^{2}-1),\quad P_{3}(x)=\tfrac12(5x^{3}-3x),\quad P_{4}(x)=\tfrac18(35x^{4}-30x^{2}+3).
Vamos usar a relação de recorrência
(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)
com x=\cos\theta.

Passo 2

Para n=0 e n=1 temos, por definição,
P_{0}(x)=1, \qquad P_{1}(x)=x.
Isto coincide com as fórmulas dadas para P_{0}(\cos\theta) e P_{1}(\cos\theta).

Passo 3

Aplique a recorrência para n=1:
2P_{2}(x)=3\,x\,P_{1}(x)-1\cdot P_{0}(x) =3x\cdot x-1 =3x^{2}-1,
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P_{2}(x)=\tfrac12(3x^{2}-1),
que coincide com P_{2}(\cos\theta).

Passo 4

Para n=2:
3P_{3}(x)=5\,x\,P_{2}(x)-2\,P_{1}(x) =5x\cdot\tfrac12(3x^{2}-1)-2x =\tfrac{5}{2}(3x^{3}-x)-2x =\tfrac{15}{2}x^{3}-\tfrac{9}{2}x,
então
P_{3}(x)=\tfrac12(5x^{3}-3x),
conforme desejado para P_{3}(\cos\theta).

Passo 5

Para n=3:
4P_{4}(x)=7\,x\,P_{3}(x)-3\,P_{2}(x) =7x\cdot\tfrac12(5x^{3}-3x)-3\cdot\tfrac12(3x^{2}-1) =\tfrac{7}{2}(5x^{4}-3x^{2})-\tfrac{3}{2}(3x^{2}-1)
=\tfrac{35}{2}x^{4}-\tfrac{21}{2}x^{2}-\tfrac{9}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2} =\tfrac{35}{2}x^{4}-\tfrac{30}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2},
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P_{4}(x)=\tfrac18\bigl(35x^{4}-30x^{2}+3\bigr),
que coincide com P_{4}(\cos\theta).

Resposta

As expressões obtidas usando a relação de recorrência coincidem exatamente com as dadas no enunciado para P_{0} a P_{4}.

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