Calcule a campo elétrico no ponto de coordenadas P(2,2,2) devido à duas cargas pontuais q_{1}=q_{2}=1 \mu \mathrm{C} localizadas nos pontos de coordenadas P_{1}(0,1,0) e P_{2}(0,-1,0), respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico no ponto P(2,2,2) devido a duas cargas puntuais iguais. Dados fornecidos:
  • q_{1}=q_{2}=1\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • P_{1}(0,1,0) é a posição da carga q_{1}.
  • P_{2}(0,-1,0) é a posição da carga q_{2}.
  • Ponto onde queremos o campo: P(2,2,2).
    Pergunta: qual é o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P (unidade \mathrm{N/C}) devido às duas cargas?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme q em um ponto de posição \mathbf{r} é dado pela forma vetorial de Coulomb:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{3}},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática ( k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}),
  • \mathbf{r}_q é a posição da carga q,
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}_q é o vetor que vai da carga até o ponto onde calculamos o campo,
  • |\mathbf{r}-\mathbf{r}_q| é a distância entre a carga e o ponto,
  • o denominador ao cubo aparece porque estamos multiplicando a magnitude do campo kq/r^{2} pelo vetor unitário (\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)/r.
    Explicando com calma: primeiro achamos o vetor que aponta da carga para o ponto; depois normalizamos esse vetor (dividindo por sua magnitude) e multiplicamos pela intensidade kq/r^{2}. Juntando os dois passos obtemos a forma acima.

Passo 3

Calcular os vetores posição relativos e suas normas:
  • Vetor do ponto P_{1} até P:
\mathbf{r}_{1}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_{q1}=(2,2,2)-(0,1,0)=(2,1,2).
  • Vetor do ponto P_{2} até P:
\mathbf{r}_{2}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_{q2}=(2,2,2)-(0,-1,0)=(2,3,2).
Agora as distâncias (normas):
|\mathbf{r}_{1}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
|\mathbf{r}_{2}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}.
Mostrei cada passo: somar componentes ao quadrado e tirar raiz.

Passo 4

Escrever o campo total como soma das contribuições \mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} e as expressões simbólicas:
\mathbf{E}_{1}=k\,q_{1}\,\frac{(2,1,2)}{|\mathbf{r}_{1}|^{3}}=kq\,\frac{(2,1,2)}{3^{3}},
\mathbf{E}_{2}=k\,q_{2}\,\frac{(2,3,2)}{|\mathbf{r}_{2}|^{3}}=kq\,\frac{(2,3,2)}{(\sqrt{17})^{3}}=kq\,\frac{(2,3,2)}{17\sqrt{17}}.
Converter constantes numéricas:
k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},\qquad q=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
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kq = 8,99\times10^{9}\times 10^{-6}=8,99\times10^{3}=8990\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 5

Calcular numericamente \mathbf{E}_{1}:
  • Escalar multiplicador para \mathbf{E}_{1}:
\frac{kq}{3^{3}}=\frac{8990}{27}\approx 332,96296\\ \mathrm{N/C}.
  • Multiplicando pelo vetor (2,1,2):
\mathbf{E}_{1}\approx (2\cdot332,96296,\;1\cdot332,96296,\;2\cdot332,96296) \approx (665,9259,\;332,96296,\;665,9259)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Calcular numericamente \mathbf{E}_{2}:
  • Escalar multiplicador para \mathbf{E}_{2}:
\frac{kq}{17\sqrt{17}}=\frac{8990}{17\sqrt{17}}\approx 128,2585\\ \mathrm{N/C}.
(para obter esse número calculamos \sqrt{17}\approx4,1231056 e depois 17\sqrt{17}\approx70,0927956, em seguida dividimos 8990 por esse valor).
  • Multiplicando pelo vetor (2,3,2):
\mathbf{E}_{2}\approx (2\cdot128,2585,\;3\cdot128,2585,\;2\cdot128,2585) \approx (256,5170,\;384,7755,\;256,5170)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter o campo total:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}
\mathbf{E}\approx (665,9259+256,5170,\;332,96296+384,7755,\;665,9259+256,5170)
\mathbf{E}\approx (922,4429,\;717,7385,\;922,4429)\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos
\mathbf{E}\approx (922,44,\;717,74,\;922,44)\\ \mathrm{N/C},
ou, usando vetores unitários,
\mathbf{E}\approx 922,44\,\hat{\mathbf{i}}+717,74\,\hat{\mathbf{j}}+922,44\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\mathbf{E}\approx(922,44,\;717,74,\;922,44)\\ \mathrm{N/C}

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