O potencial elátrico a uma distância de 1 \times 10^{-20} \mathrm{~m} de um próton e a energia potencial elétrica de um elétron nesse potencial gerado pelo próton são, respectivamente?Mostre as deduções que levaram
\begin{aligned} & V=? \\\ & U=? \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o potencial elétrico V a uma distância 1\times10^{-20}\\ \mathrm{m} de um próton.
  • Pede a energia potencial elétrica U de um elétron nesse potencial gerado pelo próton.
Informações dadas (pegas do enunciado ou constantes físicas conhecidas):
  • Distância: r=1\times10^{-20}\\ \mathrm{m}.
  • Carga do próton: q_{\text{p}}=+e, com e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Carga do elétron: q_{\text{e}}=-e.
  • Constante eletrostática: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Usaremos o valor padrão aproximado k=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
As perguntas são:
  • V = ?
  • U = ?

Passo 2

Fórmula do potencial elétrico de uma carga pontual e explicação das variáveis.
Para uma carga pontual q no vácuo, o potencial elétrico a uma distância r é dado por:
V=\frac{k\,q}{r},
onde
  • V é o potencial elétrico (em volts, \mathrm{V}),
  • k é a constante eletrostática ( \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • q é a carga que cria o potencial (em coulombs, \mathrm{C}),
  • r é a distância ao centro da carga (em metros, \mathrm{m}).
No nosso caso a carga que cria o potencial é o próton, então q=q_{\text{p}}=+e. Substituindo:
V=\frac{k\,e}{r}.
Agora calculamos numericamente em passos claros (usar notação científica facilita as contas sem calculadora):
  1. Produto k\cdot e:
k\cdot e = \left(8{,}9875517923\times10^{9}\right)\left(1{,}602176634\times10^{-19}\right).
Ao multiplicar em notação científica multiplica-se as mantissas e somam-se os expoentes:
8{,}9875517923\times1{,}602176634 \approx 14{,}399624406,
e o expoente é 10^{9-19}=10^{-10}. Logo
k\cdot e \approx 14{,}399624406\times10^{-10}=1{,}4399624406\times10^{-9}\\ \mathrm{V\cdot m}.
  1. Dividir por r=1\times10^{-20}\\ \mathrm{m}:
V=\frac{1{,}4399624406\times10^{-9}}{1\times10^{-20}}=1{,}4399624406\times10^{11}\\ \mathrm{V}.
Arredondando para três algarismos significativos:
V\approx 1{,}44\times10^{11}\\ \mathrm{V}.
Observação de sinal: o resultado é positivo porque a carga que cria o potencial é positiva (próton).

Passo 3

Fórmula da energia potencial elétrica de uma carga colocada num potencial e explicação das variáveis.
A energia potencial elétrica U de uma carga q' colocada num ponto onde o potencial é V é:
U=q'\,V,
onde U está em joules ( \mathrm{J}), q' em coulombs e V em volts.
Aqui vamos colocar um elétron, então q'=q_{\text{e}}=-e. Assim
U=q_{\text{e}}\,V = -e\,V.
Substituindo e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e V\approx1{,}4399624406\times10^{11}\\ \mathrm{V}:
U = -\left(1{,}602176634\times10^{-19}\right)\left(1{,}4399624406\times10^{11}\right).
Multiplicando mantissas e somando expoentes:
1{,}602176634\times1{,}4399624406 \approx 2{,}307077\quad\text{e o expoente é }10^{-19+11}=10^{-8}.é
Logo
U\approx -2{,}307077\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
U\approx -2{,}31\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
Conversão útil para elétron-volts (opcional, mas esclarecedora): como 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, a energia em eV é
U_{\text{(eV)}}=\frac{U}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx -1{,}4399624406\times10^{11}\\ \mathrm{eV}\approx -1{,}44\times10^{11}\\ \mathrm{eV},
o que coincide com a relação simples U(\text{em eV})=-V(\text{em V}) quando a carga é um elétron.

Passo 4

Resumo físico rápido (sintético e encorajador):
  • O potencial muito grande \sim10^{11}\\ \mathrm{V} ocorre porque a distância escolhida 10^{-20}\\ \mathrm{m} é extremamente pequena (muito menor que o raio atômico).
  • A energia potencial do elétron é grande em módulo e negativa, indicando que, nesse potencial do próton, o elétron estaria fortemente ligado (em termos de energia clássica). Não precisa decorar isso agora, é só para intuir o resultado.

Resposta

V=1{,}44\times10^{11}\\ \mathrm{V}
U=-2{,}31\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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