Considerando o vetor
\mathbf{V}=a x \mathbf{i}+b y \mathbf{j}+c z \mathbf{k},
escolha adequadamente a, b e c, de tal forma que \mathbf{V} possa ser um campo magnético.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{V}=a x\,\mathbf{i}+b y\,\mathbf{j}+c z\,\mathbf{k},
onde a,b,c são constantes a escolher. A tarefa é escolher a,b,c de modo que \mathbf{V} possa ser um campo magnético.

Passo 2

Qual a condição física que um campo magnético precisa satisfazer? Uma lei fundamental de Maxwell diz que não existem monopólos magnéticos, portanto o campo magnético \mathbf{B} sempre satisfaz
\nabla\cdot\mathbf{B}=0.
Isso significa que qualquer candidato a campo magnético deve ter divergência nula. (Essa é uma condição necessária e, localmente em regiões simplesmente conexas, também suficiente para ser representável como \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} para algum potencial vetorial \mathbf{A}.)

Passo 3

Vamos aprender a calcular divergência de um modo bem direto. Para um campo genérico
\mathbf{F}=F_x(x,y,z)\,\mathbf{i}+F_y(x,y,z)\,\mathbf{j}+F_z(x,y,z)\,\mathbf{k},
a definição de divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial da componente correspondente em relação à sua coordenada.
Aplicando isso ao nosso \mathbf{V}:
F_x=a x,\qquad F_y=b y,\qquad F_z=c z.
Calculando as parciais:
\frac{\partial}{\partial x}(a x)=a,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(b y)=b,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(c z)=c.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{V}=a+b+c.

Passo 4

Impondo a condição física \nabla\cdot\mathbf{V}=0 obtemos a equação que liga a,b,c:
a+b+c=0.
Essa é a condição que os coeficientes devem satisfazer para que \mathbf{V} possa ser um campo magnético.

Passo 5

Vamos ver rapidamente outras propriedades e interpretar o que isso significa na prática de prova.
(a) A equação a+b+c=0 deixa dois graus de liberdade: podemos escolher a e b livremente e definir c=-(a+b). Em notação paramétrica:
a=s,\qquad b=t,\qquad c=-(s+t),
com s,t quaisquer números reais. Exemplos numéricos: \,a=1,\\ b=2,\\ c=-3\, ou \,a=1,\\ b=-1,\\ c=0\,.
(b) É útil checar o rotacional. Calculemos \nabla\times\mathbf{V} para ver se há correntes associadas:
\nabla\times\mathbf{V}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ a x & b y & c z \end{vmatrix}.
Como cada componente depende só da sua própria coordenada, todas as derivadas mistas são zero, então
\nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}.
Isso significa que, além de ser divergência-nula (quando a+b+c=0), o campo é também sem rotacional; em magnetostática isso corresponde a uma região sem correntes ( \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}=0\Rightarrow\mathbf{J}=\mathbf{0}). Portanto o campo é compatível com ser um campo magnético numa região livre de correntes (por exemplo, campo magnético entre condutores distantes).

Passo 6

Dica prática para prova: ao receber um candidato a campo magnético, calcule primeiro \nabla\cdot dele. Se não der zero, descarte imediatamente. Se der zero, mencione que localmente existe um potencial vetorial \mathbf{A} tal que \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} (se a região for simplesmente conexa) e verifique, se pedirem, o rotacional para inferir se há correntes.

Resposta

\,a+b+c=0\,
Exemplo: \,a=1,\\ b=2,\\ c=-3\,

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