Uma espira retangular, de largura
, comprimento
e resistência elétrica
, é colocada em uma região de campo magnético uniforme
, de tal maneira que o vetor normal a sua superfície forma uma ângulo de
com
. Sabendo-se que a espira se move com velocidade de arraste constante
para fora da região do campo e apenas
do seu comprimento original estão imersos em
no instante inicial de leitura do fluxo, qual o valor da velocidade de arraste da bobina, do fluxo magnético, da f.e.m., da força exercida sobre a bobina e, finalmente, da corrente dissipada pela bobina.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com largura $ a $, comprimento $ b $ e resistência elétrica $ R $. Essa espira está dentro de um campo magnético uniforme $ \boldsymbol{B} $, e o vetor normal à sua superfície forma um ângulo de $ 30^{\circ} $ com $ \boldsymbol{B} $. A espira está se movendo com uma velocidade constante $ v $ para fora da região do campo magnético. No início, apenas $ 75% $ do comprimento $ b $ está imerso no campo. Precisamos encontrar:
- A velocidade de arraste $ v $.
- O fluxo magnético $ \Phi $.
- A força eletromotriz (f.e.m.) $ \mathcal{E} $.
- A força exercida sobre a bobina $ F $.
- A corrente dissipada $ I $ pela bobina.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetismo, como fluxo magnético, Lei de Faraday, Lei de Lenz, força magnética e Lei de Ohm. Vamos passo a passo para não ficar complicado!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi $. O fluxo magnético é dado pela fórmula:
Onde:
- $ B $ é a intensidade do campo magnético.
- $ A $ é a área da espira.
- $ \theta $ é o ângulo entre o vetor normal à superfície da espira e o campo magnético.
No nosso caso, o vetor normal forma $ 30^{\circ} $ com $ \boldsymbol{B} $, então $ \theta = 30^{\circ} $. A área $ A $ da espira é $ a \cdot b $, mas como apenas $ 75% $ do comprimento está imerso no campo inicialmente, a área efetivamente imersa será $ A = a \cdot (0.75b) $.
Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a força eletromotriz (f.e.m.) $ \mathcal{E} $ induzida na espira quando ela está se movendo. Segundo a Lei de Faraday, a f.e.m. induzida é dada pela variação do fluxo magnético em relação ao tempo:
Como a espira está se movendo com velocidade constante $ v $, a variação do fluxo ocorre porque a área imersa no campo magnético está mudando. A rapidez com que a área muda depende da velocidade $ v $.
A taxa de variação do fluxo será:
Aqui, $ x $ é a parte do comprimento $ b $ que está imersa no campo, e $ \frac{dx}{dt} = v $ (velocidade de arraste).
Então:
O sinal negativo indica que a f.e.m. se opõe à causa que a produziu, mas para fins de magnitude, podemos considerar:
Passo 4
Vamos calcular agora a força exercida sobre a bobina $ F $. A força magnética sobre uma corrente em um campo magnético é dada por:
Onde:
- $ I $ é a corrente.
- $ L $ é o comprimento da espira imerso no campo.
- $ \phi $ é o ângulo entre a direção da corrente e o campo magnético.
No nosso caso, a corrente $ I $ será resultante da f.e.m. induzida e da resistência $ R $ da espira, via Lei de Ohm:
Substituindo na fórmula da força:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a corrente dissipada $ I $ na bobina. Já encontramos uma expressão para $ I $ no passo anterior:
Essa é a corrente que circula pela espira devido à f.e.m. induzida e que causa o aquecimento ou dissipação de energia na resistência $ R $.
Resposta
Resumindo os resultados:
- Velocidade de arraste:
- Fluxo magnético:
- Força eletromotriz (f.e.m.):
- Força exercida sobre a bobina:
- Corrente dissipada pela bobina:
Essas expressões te dão os valores que a questão pediu, baseados nos parâmetros fornecidos.