3- Calcule o campo magnético e o vetor de Poynting associado a onda eletromagnética.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
e pede dois itens: (1) o campo magnético associado
e (2) o vetor de Poynting associado
. Informações relevantes que extraí do enunciado:
Defino duas quantidades úteis a partir disso:
Observação importante: a onda depende apenas de
e
, logo é uma onda plana que se propaga no sentido positivo de
. Vou usar essas informações para achar
e depois
.
Passo 2
Intuição física e relação vetorial entre
,
e direção de propagação: para uma onda plana que se propaga na direção de
(aqui
), os vetores
,
e
formam um tripé ortogonal com regra da mão direita. Isso significa que
deve ser proporcional a
(ou equivalentemente
em módulos), e a constante de proporcionalidade é
. Vou justificar isso de forma mecânica usando as equações de Maxwell no vácuo do meio linear (sem cargas livres e sem correntes):
.
Passo 3
Derivação rápida (didática) da relação entre
e
usando Faraday:
- escrevo
com . - componentes de
:
- calculo o rotacional
. Como depende só de ,
Logo
- pela Lei de Faraday
. Integro em tempo (fixando ) usando para encontrar . O resultado da integração (mostrarei o resultado no passo seguinte) leva à relação vetorial mais simples e física:
Aqui
é a velocidade de propagação no meio. Essa relação garante a orientação correta (regra da mão direita) e magnitude coerente com Maxwell.
Passo 4
Aplicando a relação
explicitamente:
- calculo o produto vetorial
. Usando a regra cíclica:
- então
- multiplicando pela amplitude e pelo fator
e incluindo a dependência temporal/espacial , obtenho
Verificação rápida de consistência dimensional:
tem dimensão de campo magnético. Direção está correta para que o fluxo de energia (Poynting) aponte para
.
Passo 5
Agora calculo o vetor de Poynting instantâneo. Em SI o vetor de Poynting instantâneo é
onde
. Vou primeiro escrever
:
Passo 6
Faço o produto vetorial
. Escrevo
e
.
Multiplico termo a termo:
Multiplico termo a termo:
Calculo o produto interno dos unitários:
Somando os termos não nulos:
logo a soma vale
. Portanto
Passo 7
Interpretação e média temporal: a expressão do passo anterior é o vetor de Poynting instantâneo (fluxo de energia por unidade de área). Escrevo-a de forma clara:
Se quisermos o valor médio no tempo (útil em muitos problemas), usamos
, obtendo o fluxo médio