3- Calcule o campo magnético e o vetor de Poynting associado a onda eletromagnética.
\vec{E}=E_{0} \cos [\omega(\sqrt{\varepsilon \mu} z-t)] \hat{\imath}+E_{0} \cos [\omega(\sqrt{\varepsilon \mu} z-t)] \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}=E_{0}\cos\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\hat{\imath}+E_{0}\cos\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\hat{\jmath}
e pede dois itens: (1) o campo magnético associado \vec{B} e (2) o vetor de Poynting associado \vec{S}. Informações relevantes que extraí do enunciado:
\text{argumento da cosseno: }\varphi=\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t).
Defino duas quantidades úteis a partir disso:
k=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}\quad\text{e}\quad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.
Observação importante: a onda depende apenas de z e t, logo é uma onda plana que se propaga no sentido positivo de z. Vou usar essas informações para achar \vec{B} e depois \vec{S}.

Passo 2

Intuição física e relação vetorial entre \vec{E}, \vec{B} e direção de propagação: para uma onda plana que se propaga na direção de +\hat{z} (aqui k>0), os vetores \vec{E}, \vec{B} e \hat{z} formam um tripé ortogonal com regra da mão direita. Isso significa que \vec{B} deve ser proporcional a \hat{z}\times\vec{E} (ou equivalentemente \vec{B}=(1/v)\,\hat{z}\times\vec{E} em módulos), e a constante de proporcionalidade é 1/v=\sqrt{\varepsilon\mu}. Vou justificar isso de forma mecânica usando as equações de Maxwell no vácuo do meio linear (sem cargas livres e sem correntes): \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t.

Passo 3

Derivação rápida (didática) da relação entre \vec{E} e \vec{B} usando Faraday:
  1. escrevo \varphi=kz-\omega t com k=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}.
  2. componentes de \vec{E}:
E_x=E_0\cos\varphi,\qquad E_y=E_0\cos\varphi,\qquad E_z=0.
  1. calculo o rotacional \nabla\times\vec{E}. Como E depende só de z,
(\nabla\times\vec{E})_x=-\frac{\partial E_y}{\partial z}=E_0k\sin\varphi,
(\nabla\times\vec{E})_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}=-E_0k\sin\varphi,
(\nabla\times\vec{E})_z=0.
Logo
\boxed{\nabla\times\vec{E}=E_0k\sin\varphi\,(\hat{\imath}-\hat{\jmath}).}
  1. pela Lei de Faraday \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}. Integro em tempo (fixando z) usando \dfrac{\partial}{\partial t}\cos\varphi=\omega\sin\varphi para encontrar \vec{B}. O resultado da integração (mostrarei o resultado no passo seguinte) leva à relação vetorial mais simples e física:
\boxed{\vec{B}=\frac{1}{v}\,\hat{z}\times\vec{E}.}
Aqui v=1/\sqrt{\varepsilon\mu} é a velocidade de propagação no meio. Essa relação garante a orientação correta (regra da mão direita) e magnitude coerente com Maxwell.

Passo 4

Aplicando a relação \vec{B}=(1/v)\,\hat{z}\times\vec{E} explicitamente:
  1. calculo o produto vetorial \hat{z}\times(\hat{\imath}+\hat{\jmath}). Usando a regra cíclica:
\hat{z}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath},\qquad \hat{z}\times\hat{\jmath}=-\hat{\imath}.
  1. então
\hat{z}\times\bigl(\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr)=\hat{\jmath}-\hat{\imath}=-\hat{\imath}+\hat{\jmath}.
  1. multiplicando pela amplitude e pelo fator 1/v=\sqrt{\varepsilon\mu} e incluindo a dependência temporal/espacial \cos\varphi, obtenho
\boxed{\vec{B}=E_0\sqrt{\varepsilon\mu}\;\cos\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\;(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}).}
Verificação rápida de consistência dimensional: E_0/v tem dimensão de campo magnético. Direção está correta para que o fluxo de energia (Poynting) aponte para +\hat{z}.

Passo 5

Agora calculo o vetor de Poynting instantâneo. Em SI o vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H},
onde \vec{H}=\vec{B}/\mu. Vou primeiro escrever \vec{H}:
\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu}=E_0\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\cos\varphi\;(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}).

Passo 6

Faço o produto vetorial \vec{E}\times\vec{H}. Escrevo \vec{E}=E_0\cos\varphi(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) e \vec{H}=E_0\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\mu}}\cos\varphi(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Multiplico termo a termo:
\vec{E}\times\vec{H}=E_0^2\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\cos^2\varphi\;(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\times(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Calculo o produto interno dos unitários:
(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\times(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}) =\hat{\imath}\times(-\hat{\imath})+\hat{\imath}\times\hat{\jmath}+\hat{\jmath}\times(-\hat{\imath})+\hat{\jmath}\times\hat{\jmath}.
Somando os termos não nulos:
\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{z},\qquad \hat{\jmath}\times(-\hat{\imath})=\;+\hat{z},
logo a soma vale 2\hat{z}. Portanto
\vec{S}=\;2E_0^2\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\cos^2\varphi\;\hat{z}.

Passo 7

Interpretação e média temporal: a expressão do passo anterior é o vetor de Poynting instantâneo (fluxo de energia por unidade de área). Escrevo-a de forma clara:
\boxed{\vec{S}(z,t)=2E_0^2\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\cos^2\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\;\hat{z}.}
Se quisermos o valor médio no tempo (útil em muitos problemas), usamos \langle\cos^2\varphi\rangle=1/2, obtendo o fluxo médio
\boxed{\langle\vec{S}\rangle = E_0^2\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\hat{z}.}

Resposta

\displaystyle \vec{B}=E_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}\;\cos\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\;(-\hat{\imath}+\hat{\jmath})
\displaystyle \vec{S}(z,t)=2E_{0}^{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\cos^{2}\bigl[\omega(\sqrt{\varepsilon\mu}\,z-t)\bigr]\;\hat{z}
\displaystyle \langle\vec{S}\rangle =E_{0}^{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\;\hat{z}

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