Em um laboratório há dois recipientes fechados, cada um contendo um gás monoatômico que se comporta como gás ideal à temperatura ambiente. Mediu-se a massa de cada gás e obteve-se:
\mathrm{m}_{1}=64 \mathrm{~g} \quad \mathrm{~m}_{2}=210 \mathrm{~g}
Em cada recipiente foram fornecidos 20J de calor e, em consequência, a temperatura de cada gás aumentou 1^{\circ} \mathrm{C}. Com o auxílio da tabela periódica identifique qual é o gás de cada recipiente.

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique, usando a tabela periódica, qual é o gás presente em cada um dos dois recipientes. As informações dadas são:
\mathrm{m}_1 = 64\\ \mathrm{g}
\mathrm{m}_2 = 210\\ \mathrm{g}
\text{Para cada recipiente foi fornecido } Q = 20\\ \mathrm{J}
\text{A temperatura de cada gás aumentou } \Delta T = 1^\circ\mathrm{C}á
Também foi informado que cada gás é monoatômico e se comporta como gás ideal à temperatura ambiente. Não há outras informações fornecidas (por exemplo, volume ou pressão dos recipientes).

Passo 2

Interpretação física e hipótese necessária para seguir: como os recipientes são fechados e não foi mencionado que houve expansão, o procedimento padrão nestes problemas é assumir que os recipientes são rígidos (volumes constantes), logo não há trabalho de expansão realizado pelo gás ( W=0). Com isso a energia térmica fornecida vai inteiramente para a energia interna do gás. Formalmente, a primeira lei nos dá:
Q = \Delta U + W
Com W=0 segue
Q = \Delta U.
A energia interna de um gás ideal monoatômico depende apenas da temperatura e, para uma variação de temperatura, vale
\Delta U = n C_{V,m} \Delta T,
onde n é o número de mols do gás e C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante. Portanto usaremos a relação
Q = n C_{V,m} \Delta T.
Aqui:
  • Q é o calor fornecido em joules,
  • n é o número de mols (unidade: mol),
  • C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade: \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou em graus Celsius; numericamente 1^\circ\mathrm{C}=1\\ \mathrm{K}).

Passo 3

Valor teórico de C_{V,m} para gás monoatômico: pela teoria da equipartição da energia, um gás monoatômico tem apenas as três direções de translação ativas (três graus de liberdade), então a energia interna molar é \tfrac{3}{2}RT e a capacidade molar a volume constante é
C_{V,m} = \frac{3}{2}R,
onde R é a constante universal dos gases. Vou usar o valor
R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Explicação rápida do porquê: cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}RT para a energia interna por mol; com 3 graus de liberdade dá \tfrac{3}{2}RT. Derivando em relação a T obtemos C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R.

Passo 4

Calcular numericamente C_{V,m}:
C_{V,m} = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2}\cdot 8,314 = 12,471\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 5

Determinar o número de mols n presente em cada recipiente usando Q = n C_{V,m} \Delta T. Como Q e \Delta T são os mesmos para os dois recipientes, o número de mols será o mesmo em ambos. Reescrevendo para n:
n = \frac{Q}{C_{V,m}\,\Delta T}.
Substituindo os valores:
n = \frac{20\\ \mathrm{J}}{12,471\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \cdot 1\\ \mathrm{K}} = \frac{20}{12,471}\\ \mathrm{mol}.
Fazendo a divisão:
n \approx 1,603\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Agora obtenho a massa molar M de cada gás a partir da relação entre massa e número de mols:
M = \frac{m}{n},
onde m é a massa da amostra (em gramas) e M ficará em \mathrm{g/mol} se usar m em gramas e n em mol.
Para o recipiente 1:
M_1 = \frac{\mathrm{m}_1}{n} = \frac{64\\ \mathrm{g}}{1,603\\ \mathrm{mol}} \approx 39,92\\ \mathrm{g/mol}.
Para o recipiente 2:
M_2 = \frac{\mathrm{m}_2}{n} = \frac{210\\ \mathrm{g}}{1,603\\ \mathrm{mol}} \approx 131,03\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 7

Identificação pelo valor de massa molar usando a tabela periódica: procurar elementos monoatômicos (gases nobres) cujas massas molares se aproximem dos valores calculados.
  • M_1 \approx 39,92\\ \mathrm{g/mol} coincide bem com o argônio, cujo valor tabelado é \approx 39,948\\ \mathrm{g/mol}. Portanto o gás do recipiente 1 é Argônio ( \mathrm{Ar}).
  • M_2 \approx 131,03\\ \mathrm{g/mol} coincide bem com o xenônio, cujo valor tabelado é \approx 131,29\\ \mathrm{g/mol}. Portanto o gás do recipiente 2 é Xenônio ( \mathrm{Xe}).
Observação: faz sentido que sejam gases nobres (monoatômicos) como Argônio e Xenônio, pois o enunciado já disse que são monoatômicos e se comportam como ideais à temperatura ambiente.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio (para você usar na prova): calcular C = Q/\Delta T, usar Q=nC_{V,m}\Delta T com C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R para achar n, depois M=m/n e comparar com a tabela periódica. Força aí — tá bem direto quando a gente faz passo a passo!

Resposta

Gás do recipiente 1: Argônio (Ar)
Gás do recipiente 2: Xenônio (Xe)

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