10- Considere um solenóide infinito, com nnn espiras por unidade de comprimento e percorrido por uma corrente
. O solenóide está totalmente preenchido por um material linear com susceptibilidade magnética
. Determine os campos
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os campos magnéticos e magnetização:
- Temos um solenóide infinito (ou muito longo) com
espiras por unidade de comprimento. - Cada espira é percorrida por uma corrente
. - O interior do solenóide está totalmente preenchido por um material linear com susceptibilidade magnética
. - Pedem-se os vetores
, e (em todo o espaço, isto é, dentro e fora do solenóide).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
,
. Assumo o eixo do solenóide como o eixo
(ou seja, o campo dentro será paralelo a
).
Passo 2
Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
- Lei de Ampère para o campo
(forma macroscópica):
Isto significa: o integral fechado de
ao longo de um caminho fechado é igual à corrente livre total atravessando a superfície encostada nesse contorno. “Corrente livre” são as correntes nas espiras (não as correntes ligadas ao material).
- Relações constitutivas para meios magnetizados lineares:
onde
é a permeabilidade do vácuo. Aqui
é a magnetização (momento magnético por unidade de volume),
é a susceptibilidade magnética (adimensional) e
é a permeabilidade do material, que chamaremos
com
.
Explicando em palavras: primeiro usamos Ampère para achar
(pois ela envolve apenas correntes livres). Depois, como o material é linear, a magnetização
é proporcional a
. Finalmente
vem da soma
.
Passo 3
Aplicação da Lei de Ampère para achar
dentro do solenóide.
Escolhemos um laço de Ampère retangular de comprimento
paralelo ao eixo do solenóide (lado interno) e retornando por um lado fora do solenóide. Pela simetria de um solenóide infinito,
é uniforme e paralelo ao eixo dentro e depende apenas da posição radial fora (mas para o solenóide ideal a parte externa dá campo nulo por simetria/contrações dos fios). O fluxo de corrente livre atravessando a superfície encostada no laço é o número de espiras no comprimento
vezes a corrente em cada espira, ou seja
.
A aplicação direta:
Pela simetria do solenóide infinito podemos tomar
(campo
fora do solenóide ideal é nulo), então
Direção: a mesma direção do eixo do solenóide (escolhemos
para o eixo), seguindo a regra da mão direita para a corrente nas espiras. Logo
Fora do solenóide (no modelo ideal/infinito):
Breve justificativa da escolha
: para um solenóide muito longo, os campos externos de cada volta se cancelam por simetria e o campo macroscópico fora tende a zero; na prática usamos esta propriedade padrão do solenóide ideal.
Passo 4
Calcular a magnetização
dentro usando a relação linear.
Como o material é linear e homogêneo,
Substituindo o
que encontramos:
Fora do solenóide, onde
, temos
.
Interpretação física rápida: o material “alinha” seus dipolos em função de
e a intensidade do alinhamento é proporcional a
.
Passo 5
Calcular
dentro e fora usando
ou
.
Dentro:
Ou escrevendo com permeabilidade relativa
:
Fora do solenóide: como
e
,
Passo 6
Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): ligação com correntes ligadas.
- A magnetização
produz uma corrente superficial ligada . Para o cilindro do solenóide, e , daí
isto é, uma corrente superficial azimutal proporcional a
. Essa corrente ligada mais a corrente livre nas espiras dá o mesmo campo
calculado acima — é uma boa checagem física.
Passo 7
Resumo e dicas rápidas para a prova (uma palavra de ânimo):
- Sempre comece usando a forma integral de Ampère para
quando há correntes livres conhecidas (espiras). - Depois use
em meios lineares. - Finalmente calcule
.
Vai dar certo — respira e aplica esses passos na ordem que eu segui.
Resposta
Dentro do solenóide:
,
,
.
Fora do solenóide:
,
,
.