10- Considere um solenóide infinito, com nnn espiras por unidade de comprimento e percorrido por uma corrente i. O solenóide está totalmente preenchido por um material linear com susceptibilidade magnética \chi_{\mathrm{m}}. Determine os campos \vec{B}, \vec{H} e \vec{M}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os campos magnéticos e magnetização:
  • Temos um solenóide infinito (ou muito longo) com n espiras por unidade de comprimento.
  • Cada espira é percorrida por uma corrente i.
  • O interior do solenóide está totalmente preenchido por um material linear com susceptibilidade magnética \chi_{\mathrm{m}}.
  • Pedem-se os vetores \vec{B}, \vec{H} e \vec{M} (em todo o espaço, isto é, dentro e fora do solenóide).
Informações relevantes extraídas do enunciado: n, i, \chi_{\mathrm{m}}. Assumo o eixo do solenóide como o eixo z (ou seja, o campo dentro será paralelo a \hat{z}).

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
  1. Lei de Ampère para o campo \vec{H} (forma macroscópica):
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_{\text{livre,\,enc}}
Isto significa: o integral fechado de \vec{H} ao longo de um caminho fechado é igual à corrente livre total atravessando a superfície encostada nesse contorno. “Corrente livre” são as correntes nas espiras (não as correntes ligadas ao material).
  1. Relações constitutivas para meios magnetizados lineares:
\vec{M} = \chi_{\mathrm{m}}\,\vec{H},
\vec{B} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M}) = \mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}})\,\vec{H},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Aqui \vec{M} é a magnetização (momento magnético por unidade de volume), \chi_{\mathrm{m}} é a susceptibilidade magnética (adimensional) e \mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}}) é a permeabilidade do material, que chamaremos \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}} com \mu_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{m}}.
Explicando em palavras: primeiro usamos Ampère para achar \vec{H} (pois ela envolve apenas correntes livres). Depois, como o material é linear, a magnetização \vec{M} é proporcional a \vec{H}. Finalmente \vec{B} vem da soma \mu_0(\vec{H}+\vec{M}).

Passo 3

Aplicação da Lei de Ampère para achar \vec{H} dentro do solenóide.
Escolhemos um laço de Ampère retangular de comprimento l paralelo ao eixo do solenóide (lado interno) e retornando por um lado fora do solenóide. Pela simetria de um solenóide infinito, \vec{H} é uniforme e paralelo ao eixo dentro e depende apenas da posição radial fora (mas para o solenóide ideal a parte externa dá campo nulo por simetria/contrações dos fios). O fluxo de corrente livre atravessando a superfície encostada no laço é o número de espiras no comprimento l vezes a corrente em cada espira, ou seja n\,l\,i.
A aplicação direta:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = H_{\text{dentro}}\,l - H_{\text{fora}}\,l = n\,l\,i.
Pela simetria do solenóide infinito podemos tomar H_{\text{fora}}=0 (campo \vec{H} fora do solenóide ideal é nulo), então
H_{\text{dentro}}\,l = n\,l\,i \quad\Rightarrow\quad H_{\text{dentro}} = n\,i.
Direção: a mesma direção do eixo do solenóide (escolhemos \hat{z} para o eixo), seguindo a regra da mão direita para a corrente nas espiras. Logo
\vec{H}_{\text{dentro}} = n\,i\,\hat{z}.
Fora do solenóide (no modelo ideal/infinito): \vec{H}_{\text{fora}} = \vec{0}.
Breve justificativa da escolha H_{\text{fora}}=0: para um solenóide muito longo, os campos externos de cada volta se cancelam por simetria e o campo macroscópico fora tende a zero; na prática usamos esta propriedade padrão do solenóide ideal.

Passo 4

Calcular a magnetização \vec{M} dentro usando a relação linear.
Como o material é linear e homogêneo,
\vec{M} = \chi_{\mathrm{m}}\,\vec{H}.
Substituindo o \vec{H}_{\text{dentro}} que encontramos:
\vec{M}_{\text{dentro}} = \chi_{\mathrm{m}}\,n\,i\,\hat{z}.
Fora do solenóide, onde \vec{H}_{\text{fora}}=\vec{0}, temos \vec{M}_{\text{fora}}=\vec{0}.
Interpretação física rápida: o material “alinha” seus dipolos em função de \vec{H} e a intensidade do alinhamento é proporcional a \chi_{\mathrm{m}}.

Passo 5

Calcular \vec{B} dentro e fora usando \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}) ou \vec{B}=\mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}})\vec{H}.
Dentro:
\vec{B}_{\text{dentro}} = \mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}})\,\vec{H}_{\text{dentro}} = \mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}})\,n\,i\,\hat{z}.
Ou escrevendo com permeabilidade relativa \mu_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{m}}:
\vec{B}_{\text{dentro}} = \mu_0\mu_{\mathrm{r}}\,n\,i\,\hat{z}.
Fora do solenóide: como \vec{H}_{\text{fora}}=\vec{0} e \vec{M}_{\text{fora}}=\vec{0},
\vec{B}_{\text{fora}}=\vec{0}.

Passo 6

Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): ligação com correntes ligadas.
  • A magnetização \vec{M} produz uma corrente superficial ligada \vec{K}_{\mathrm{b}}=\vec{M}\times\hat{n}. Para o cilindro do solenóide, \hat{n}=\hat{r} e \vec{M}=\chi_{\mathrm{m}}n i\hat{z}, daí
\vec{K}_{\mathrm{b}}=\chi_{\mathrm{m}}\,n\,i\,\hat{\varphi},
isto é, uma corrente superficial azimutal proporcional a \chi_{\mathrm{m}}. Essa corrente ligada mais a corrente livre nas espiras dá o mesmo campo \vec{B} calculado acima — é uma boa checagem física.

Passo 7

Resumo e dicas rápidas para a prova (uma palavra de ânimo):
  • Sempre comece usando a forma integral de Ampère para \vec{H} quando há correntes livres conhecidas (espiras).
  • Depois use \vec{M}=\chi_{\mathrm{m}}\vec{H} em meios lineares.
  • Finalmente calcule \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}).
    Vai dar certo — respira e aplica esses passos na ordem que eu segui.

Resposta

Dentro do solenóide: \vec{H}=n\,i\,\hat{z}, \vec{M}=\chi_{\mathrm{m}}\,n\,i\,\hat{z}, \vec{B}=\mu_0(1+\chi_{\mathrm{m}})\,n\,i\,\hat{z}.
Fora do solenóide: \vec{H}=\vec{0}, \vec{M}=\vec{0}, \vec{B}=\vec{0}.

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