Um projétil de massa m=0,20 \mathrm{~kg} é lançado com velocidade inicial v_{0}= 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando um ângulo de 60^{\circ} com a horizontal. No instante em que o projétil atinge a altura máxima, ele está a uma distância horizontal de x=35 \mathrm{~m} de um ponto fixo O no solo.
Sabendo que no topo da trajetória a velocidade do projétil é puramente horizontal e vale:
v_{\mathrm{topo}}=v_{0} \cos \theta
calcule o módulo do momento angular do projétil em relação ao ponto O nesse instante.
Use:
L=r p_{\perp},
onde r é a distância do projétil ao ponto O e p_{\perp} é o momento linear perpendicular a \vec{r}.
Considere que, nesse instante, a posição do projétil é aproximadamente:
r=\sqrt{x^{2}+h_{\max }^{2}}, \quad h_{\max }=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g}
\operatorname{com} g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \sqrt{3} \approx 1,7.
A) 190 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
B) 240 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
C) 310 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
D) 360 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
E) 410 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

Entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O que pedem: calcular o módulo do momento angular do projétil em relação ao ponto O no instante em que o projétil está no topo da trajetória (altura máxima).
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=0{,}20\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade inicial: v_{0}=40\\ \mathrm{m/s}.
    • ângulo de lançamento: \theta=60^\circ.
    • no topo, a distância horizontal entre o projétil e O é x=35\\ \mathrm{m}.
    • no topo a velocidade é puramente horizontal e vale \displaystyle v_{\mathrm{topo}}=v_{0}\cos\theta.
    • fórmula útil dada: \displaystyle L=r\,p_{\perp}, onde r é a distância do projétil a O e p_{\perp} é a componente do momento linear perpendicular a \vec r.
    • expressão aproximada para a posição: \displaystyle r=\sqrt{x^{2}+h_{\max}^{2}} com \displaystyle h_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
    • g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • nota: \sqrt{3}\approx 1{,}7 (mas também podemos usar que \sin60^\circ=\sqrt{3}/2 para simplificar).
A partir daqui vamos calcular passo a passo h_{\max}, v_{\mathrm{topo}}, o momento linear e finalmente o momento angular.

Passo 2

Calcular a altura máxima \displaystyle h_{\max} e entender a fórmula.
  • Conceito: a componente vertical inicial da velocidade é \displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin\theta. A altura máxima é a altura que se ganha ao anular a velocidade vertical por causa da gravidade, e pela equação de energia cinética/queda ou pela cinemática temos
h_{\max}=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
  • Substituindo v_{0y}=v_{0}\sin\theta obtemos a fórmula dada:
h_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.

Passo 3

Avaliar \sin\theta e \sin^{2}\theta para \theta=60^\circ.
  • Sabemos que \displaystyle \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\sin^{2}60^\circ=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}=0{,}75.
(Se usássemos a aproximação \sqrt{3}\approx 1{,}7 teríamos \sin60^\circ\approx 0{,}85 e \sin^{2}\approx 0{,}7225, mas o valor exato 3/4 dá contas mais simples e é o que vamos usar.)

Passo 4

Calcular numericamente h_{\max}.
  • Substituindo na fórmula:
h_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=\frac{40^{2}\cdot \tfrac{3}{4}}{2\cdot 10}.
  • Calculando passo a passo:
    • 40^{2}=1600.
    • 1600\cdot \tfrac{3}{4}=1600\cdot 0{,}75=1200.
    • 2g=20.
    • Logo
h_{\max}=\frac{1200}{20}=60\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade no topo e o momento linear do projétil.
  • A velocidade no topo é puramente horizontal e é dada por
v_{\mathrm{topo}}=v_{0}\cos\theta.
  • Para \theta=60^\circ temos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}, então
v_{\mathrm{topo}}=40\cdot \tfrac{1}{2}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • O momento linear (quantidade de movimento) tem módulo
p=m\,v_{\mathrm{topo}}=0{,}20\cdot 20=4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Encontrar p_{\perp} (componente do momento perpendicular a \vec r) de forma geométrica — passo chave e atalho útil.
  • Em geral L=r\,p_{\perp}=r\,p\sin\alpha, onde \alpha é o ângulo entre \vec r (vetor do ponto O ao projétil) e \vec p.
  • Observação geométrica importante: no topo a velocidade (e portanto \vec p) é horizontal. A reta de movimento horizontal passa a uma distância vertical de h_{\max} do ponto O. Isso significa que a distância perpendicular (braço de alavanca) entre O e a linha de ação do momento linear é exatamente h_{\max}.
  • Uma forma prática de lembrar: o momento angular em módulo também pode ser escrito como
L = p \times (\text{distância perpendicular da linha de ação de } \vec p \text{ até } O).âçãé
Aqui essa distância perpendicular é h_{\max}. Portanto
L = p \, h_{\max}.
Isso evita ter que calcular o ângulo \alpha ou a componente p\sin\alpha explicitamente.

Passo 7

Calcular L numericamente usando L=p\,h_{\max}.
  • Substituindo p=4\\ \mathrm{kg\cdot m/s} e h_{\max}=60\\ \mathrm{m},
L=4\cdot 60=240\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
  • Unidades: p em \mathrm{kg\cdot m/s} vezes h_{\max} em \mathrm{m} \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, que é a unidade correta para momento angular.

Passo 8

Pequena verificação alternativa (checagem) usando r e expressão original para L.
  • Calcular r=\sqrt{x^{2}+h_{\max}^{2}}=\sqrt{35^{2}+60^{2}}=\sqrt{1225+3600}=\sqrt{4825}\approx 69{,}5\\ \mathrm{m}.
  • A componente perpendicular p_{\perp}=p\sin\alpha=p\cdot \dfrac{h_{\max}}{r}=4\cdot \dfrac{60}{69{,}5}\approx 4\cdot 0{,}863\approx 3{,}45\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Então L=r\,p_{\perp}\approx 69{,}5\cdot 3{,}45\approx 239{,}6, consistente com 240 dentro do arredondamento. Isso confirma que o procedimento está correto.

Resposta

B) 240\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados