Um projétil de massa
é lançado com velocidade inicial
formando um ângulo de
com a horizontal. No instante em que o projétil atinge a altura máxima, ele está a uma distância horizontal de
de um ponto fixo
no solo.
Sabendo que no topo da trajetória a velocidade do projétil é puramente horizontal e vale:
calcule o módulo do momento angular do projétil em relação ao ponto
nesse instante.
Use:
onde
é a distância do projétil ao ponto
e
é o momento linear perpendicular a
.
Considere que, nesse instante, a posição do projétil é aproximadamente:
e
.
A)
B)
C)
D)
E)
Use:
Considere que, nesse instante, a posição do projétil é aproximadamente:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O que pedem: calcular o módulo do momento angular do projétil em relação ao ponto
no instante em que o projétil está no topo da trajetória (altura máxima). - Dados fornecidos:
- massa:
. - velocidade inicial:
. - ângulo de lançamento:
. - no topo, a distância horizontal entre o projétil e
é . - no topo a velocidade é puramente horizontal e vale
. - fórmula útil dada:
, onde é a distância do projétil a e é a componente do momento linear perpendicular a . - expressão aproximada para a posição:
com . -
. - nota:
(mas também podemos usar que para simplificar).
- massa:
A partir daqui vamos calcular passo a passo
,
, o momento linear e finalmente o momento angular.
Passo 2
Calcular a altura máxima
e entender a fórmula.
- Conceito: a componente vertical inicial da velocidade é
. A altura máxima é a altura que se ganha ao anular a velocidade vertical por causa da gravidade, e pela equação de energia cinética/queda ou pela cinemática temos
- Substituindo
obtemos a fórmula dada:
Passo 3
Avaliar
e
para
.
- Sabemos que
. Portanto
(Se usássemos a aproximação
teríamos
e
, mas o valor exato
dá contas mais simples e é o que vamos usar.)
Passo 4
Calcular numericamente
.
- Substituindo na fórmula:
- Calculando passo a passo:
-
. -
. -
. - Logo
-
Passo 5
Calcular a velocidade no topo e o momento linear do projétil.
- A velocidade no topo é puramente horizontal e é dada por
- Para
temos , então
- O momento linear (quantidade de movimento) tem módulo
Passo 6
Encontrar
(componente do momento perpendicular a
) de forma geométrica — passo chave e atalho útil.
- Em geral
, onde é o ângulo entre (vetor do ponto ao projétil) e . - Observação geométrica importante: no topo a velocidade (e portanto
) é horizontal. A reta de movimento horizontal passa a uma distância vertical de do ponto . Isso significa que a distância perpendicular (braço de alavanca) entre e a linha de ação do momento linear é exatamente . - Uma forma prática de lembrar: o momento angular em módulo também pode ser escrito como
Aqui essa distância perpendicular é
. Portanto
Isso evita ter que calcular o ângulo
ou a componente
explicitamente.
Passo 7
Calcular
numericamente usando
.
- Substituindo
e ,
- Unidades:
em vezes em dá , que é a unidade correta para momento angular.
Passo 8
Pequena verificação alternativa (checagem) usando
e expressão original para
.
- Calcular
. - A componente perpendicular
. - Então
, consistente com dentro do arredondamento. Isso confirma que o procedimento está correto.
Resposta
B)