Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(d) \Phi(x, y, z)=x y z \operatorname{sen}(x+y z) .

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
\Phi(x,y,z)=x\,y\,z\,\operatorname{sen}\bigl(x+y z\bigr)
e pede para calcular o campo vetorial gradiente dessa função. As informações relevantes são:
  • A função depende das três variáveis x, y e z.
  • O argumento da função seno é x+y z (peguei isso do enunciado).
    A tarefa é encontrar \nabla\Phi(x,y,z), ou seja, os três parciais \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}, \dfrac{\partial\Phi}{\partial y} e \dfrac{\partial\Phi}{\partial z}.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (ferramentas básicas).
  • O gradiente de uma função escalar \Phi(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla\Phi=\left(\dfrac{\partial\Phi}{\partial x},\;\dfrac{\partial\Phi}{\partial y},\;\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Cada derivada parcial significa: derivar em relação a essa variável mantendo as outras fixas.
  • Regras que vamos usar:
    1. Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x). No caso de derivada parcial, aplica‑se igual: trate as outras variáveis como constantes.
    2. Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)) então f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui, para \sin(x+y z), a derivada é \cos(x+y z) vezes a derivada do argumento x+y z em relação à variável considerada.
  • Para organizar os cálculos, é útil definir o argumento interno
u(x,y,z)=x+y z,
de modo que \Phi(x,y,z)=x y z\,\operatorname{sen}\bigl(u\bigr). Assim fica claro onde usar produto e cadeia.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial x} passo a passo.
  • Escrevendo \Phi=x y z\cdot \operatorname{sen}(u), onde u=x+y z.
  • Aplicando a regra do produto (derivada de x y z em relação a x mais x y z vezes derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z (porque y e z são constantes aqui).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}=\cos(u)\cdot 1, pois \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y z)=1.
  • Portanto
\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=y z\cdot\operatorname{sen}(u)+x y z\cdot\cos(u)\cdot 1.
  • Podemos fatorar y z:
\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=y z\Bigl(\operatorname{sen}(u)+x\cos(u)\Bigr),
onde u=x+y z.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial y} passo a passo.
  • Ainda com \Phi=x y z\cdot \operatorname{sen}(u) e u=x+y z.
  • Regra do produto:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z (agora x e z são constantes).
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y}=\cos(u)\cdot z, pois \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y z)=z.
  • Logo
\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=x z\cdot\operatorname{sen}(u)+x y z\cdot\cos(u)\cdot z.
  • Fatorando x z:
\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=x z\Bigl(\operatorname{sen}(u)+y z\cos(u)\Bigr).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial z} passo a passo.
  • Mesma ideia, com u=x+y z.
  • Regra do produto:
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y (com x e y constantes).
    • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial z}=\cos(u)\cdot y, pois \dfrac{\partial}{\partial z}(x+y z)=y.
  • Assim
\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}=x y\cdot\operatorname{sen}(u)+x y z\cdot\cos(u)\cdot y.
  • Fatorando x y:
\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}=x y\Bigl(\operatorname{sen}(u)+y z\cos(u)\Bigr).

Passo 6

Montando o gradiente e apresentando formas alternativas mais compactas.
  • Juntando as três componentes obtemos
\nabla\Phi(x,y,z)=\Bigl(y z\bigl(\operatorname{sen}(u)+x\cos(u)\bigr),\;x z\bigl(\operatorname{sen}(u)+y z\cos(u)\bigr),\;x y\bigl(\operatorname{sen}(u)+y z\cos(u)\bigr)\Bigr),
com u=x+y z.
  • Outra forma útil, mostrando a ideia da regra da cadeia de maneira clara, é separar os termos com \operatorname{sen} e \cos:
\nabla\Phi=\operatorname{sen}(u)\,(y z,\;x z,\;x y)+x y z\cos(u)\,(1,\;z,\;y).
Essa forma evidencia que há uma parte proporcional a \operatorname{sen}(u) e outra a \cos(u)\cdot x y z.

Resposta

\nabla\Phi(x,y,z)=\Bigl(y z\bigl(\operatorname{sen}(x+y z)+x\cos(x+y z)\bigr),\;x z\bigl(\operatorname{sen}(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr),\;x y\bigl(\operatorname{sen}(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr)\Bigr)

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