Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
e pede para calcular o campo vetorial gradiente dessa função. As informações relevantes são:
- A função depende das três variáveis
, e . - O argumento da função seno é
(peguei isso do enunciado).
A tarefa é encontrar, ou seja, os três parciais , e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (ferramentas básicas).
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Cada derivada parcial significa: derivar em relação a essa variável mantendo as outras fixas.
- Regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
então . No caso de derivada parcial, aplica‑se igual: trate as outras variáveis como constantes. - Regra da cadeia: se
então . Aqui, para , a derivada é vezes a derivada do argumento em relação à variável considerada.
- Regra do produto: se
- Para organizar os cálculos, é útil definir o argumento interno
de modo que
. Assim fica claro onde usar produto e cadeia.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
- Escrevendo
, onde . - Aplicando a regra do produto (derivada de
em relação a mais vezes derivada de em relação a ): -
(porque e são constantes aqui). -
, pois .
-
- Portanto
- Podemos fatorar
:
onde
.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
- Ainda com
e . - Regra do produto:
-
(agora e são constantes). -
, pois .
-
- Logo
- Fatorando
:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo.
- Mesma ideia, com
. - Regra do produto:
-
(com e constantes). -
, pois .
-
- Assim
- Fatorando
:
Passo 6
Montando o gradiente e apresentando formas alternativas mais compactas.
- Juntando as três componentes obtemos
com
.
- Outra forma útil, mostrando a ideia da regra da cadeia de maneira clara, é separar os termos com
e :
Essa forma evidencia que há uma parte proporcional a
e outra a
.