Mostre que as superfícies de nível da função \Phi(x, y, z)=x+y+z são perpendiculares aos vetores do campo gradiente de \Phi(x, y, z). Isso não é uma peculiaridade da função \Phi(x, y, z), ao contrário, as equipotenciais de uma função potencial são perpendiculares às linhas de seu campo gradiente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as superfícies de nível da função \Phi(x,y,z)=x+y+z são perpendiculares aos vetores do campo gradiente de \Phi. As informações dadas são:
  • A função escalar \Phi\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definida por \Phi(x,y,z)=x+y+z.
  • Uma superfície de nível (ou equipotencial) associada ao valor constante c é o conjunto
S_c=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \Phi(x,y,z)=c\},
ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem x+y+z=c.
O que se deve provar: para cada c fixo, o vetor gradiente de \Phi em qualquer ponto de S_c é perpendicular (ortogonal) à superfície S_c.

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente. Primeiro lembramos o que é o gradiente de uma função escalar diferenciável. Para uma função \Phi(x,y,z), o gradiente \nabla\Phi é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla\Phi(x,y,z)=\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x},\frac{\partial\Phi}{\partial y},\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Intuição curta: \nabla\Phi aponta na direção de maior aumento de \Phi, e seus componentes mostram como \Phi muda quando variamos cada coordenada separadamente.
Agora aplicamos isso à nossa função \Phi(x,y,z)=x+y+z. As derivadas parciais são fáceis:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial z}=1.
Portanto o gradiente é o vetor constante
\nabla\Phi(x,y,z)=(1,1,1).

Passo 3

Caracterizando vetores tangentes à superfície de nível. Uma forma conveniente de pensar em um vetor tangente a S_c é pegar uma curva suave qualquer \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) que esteja contida em S_c. Isso significa que para todo t considerado vale \Phi(\mathbf{r}(t))=c (constante). O vetor velocidade \mathbf{r}'(t) em um dado ponto é um vetor tangente à superfície naquele ponto, porque descreve uma direção que se move ao longo da superfície sem sair dela.
Resumo: vetores tangentes a S_c são todos os vetores da forma \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t_0) para curvas \mathbf{r}(t) com \Phi(\mathbf{r}(t))=c.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e a ortogonalidade. Como \Phi(\mathbf{r}(t)) é constante igual a c, sua derivada temporal é zero. Pela regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis temos:
\frac{d}{dt}\Phi(\mathbf{r}(t))=\nabla\Phi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
Como o lado esquerdo é derivada de uma constante, ele vale 0. Logo, para todo t,
\nabla\Phi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=0.
Isto significa que o vetor gradiente \nabla\Phi(\mathbf{r}(t)) é ortogonal ao vetor tangente \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}(t) foi uma curva arbitrária em S_c, a conclusão vale para qualquer vetor tangente à superfície no ponto considerado. Portanto \nabla\Phi é ortogonal a toda a superfície S_c naquele ponto — ou seja, é um vetor normal à superfície.

Passo 5

Aplicação específica ao caso \Phi(x,y,z)=x+y+z. Já calculamos \nabla\Phi=(1,1,1) e as superfícies de nível são os planos \{(x,y,z)\mid x+y+z=c\}. Pelo argumento do Passo 4, em qualquer ponto de um desses planos o vetor (1,1,1) é ortogonal a todo vetor tangente do plano, então é um vetor normal ao plano. Verificação concreta: escolha um vetor tangente do plano, por exemplo \mathbf{u}=(1,-1,0) (este vetor satisfaz (1)+(-1)+0=0 e portanto desloca dentro do mesmo plano quando somado a um ponto do plano). O produto escalar com o gradiente é
(1,1,1)\cdot(1,-1,0)=1-1+0=0,
confirmando a ortogonalidade.

Passo 6

Generalização e dica de prova em prova: o raciocínio do Passo 4 (usar uma curva arbitrária na superfície de nível e a regra da cadeia) é o método padrão e rápido em provas para mostrar que “o gradiente é normal às superfícies de nível”. Em palavras: como ao mover-se ao longo da superfície de nível a função não muda, a taxa de variação na direção tangente é zero, logo o gradiente (que mede taxas de variação) tem produto escalar zero com qualquer direção tangente, i.e., é perpendicular.
Força aí: na prova faça exatamente esses passos — calcule \nabla\Phi, escreva uma curva genérica na superfície, aplique a regra da cadeia e conclua que o produto escalar é zero.

Resposta

As superfícies de nível de \Phi(x,y,z)=x+y+z são perpendiculares ao vetor gradiente \nabla\Phi=(1,1,1).

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