Mostre que as superfícies de nível da função
são perpendiculares aos vetores do campo gradiente de
. Isso não é uma peculiaridade da função
, ao contrário, as equipotenciais de uma função potencial são perpendiculares às linhas de seu campo gradiente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as superfícies de nível da função
são perpendiculares aos vetores do campo gradiente de
. As informações dadas são:
- A função escalar
definida por . - Uma superfície de nível (ou equipotencial) associada ao valor constante
é o conjunto
ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem
.
O que se deve provar: para cada fixo, o vetor gradiente de
em qualquer ponto de
é perpendicular (ortogonal) à superfície
.
O que se deve provar: para cada
Passo 2
Definição e cálculo do gradiente. Primeiro lembramos o que é o gradiente de uma função escalar diferenciável. Para uma função
, o gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Intuição curta:
aponta na direção de maior aumento de
, e seus componentes mostram como
muda quando variamos cada coordenada separadamente.
Agora aplicamos isso à nossa função
. As derivadas parciais são fáceis:
Portanto o gradiente é o vetor constante
Passo 3
Caracterizando vetores tangentes à superfície de nível. Uma forma conveniente de pensar em um vetor tangente a
é pegar uma curva suave qualquer
que esteja contida em
. Isso significa que para todo
considerado vale
(constante). O vetor velocidade
em um dado ponto é um vetor tangente à superfície naquele ponto, porque descreve uma direção que se move ao longo da superfície sem sair dela.
Resumo: vetores tangentes a
são todos os vetores da forma
para curvas
com
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia e a ortogonalidade. Como
é constante igual a
, sua derivada temporal é zero. Pela regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis temos:
Como o lado esquerdo é derivada de uma constante, ele vale
. Logo, para todo
,
Isto significa que o vetor gradiente
é ortogonal ao vetor tangente
. Como
foi uma curva arbitrária em
, a conclusão vale para qualquer vetor tangente à superfície no ponto considerado. Portanto
é ortogonal a toda a superfície
naquele ponto — ou seja, é um vetor normal à superfície.
Passo 5
Aplicação específica ao caso
. Já calculamos
e as superfícies de nível são os planos
. Pelo argumento do Passo 4, em qualquer ponto de um desses planos o vetor
é ortogonal a todo vetor tangente do plano, então é um vetor normal ao plano. Verificação concreta: escolha um vetor tangente do plano, por exemplo
(este vetor satisfaz
e portanto desloca dentro do mesmo plano quando somado a um ponto do plano). O produto escalar com o gradiente é
confirmando a ortogonalidade.
Passo 6
Generalização e dica de prova em prova: o raciocínio do Passo 4 (usar uma curva arbitrária na superfície de nível e a regra da cadeia) é o método padrão e rápido em provas para mostrar que “o gradiente é normal às superfícies de nível”. Em palavras: como ao mover-se ao longo da superfície de nível a função não muda, a taxa de variação na direção tangente é zero, logo o gradiente (que mede taxas de variação) tem produto escalar zero com qualquer direção tangente, i.e., é perpendicular.
Força aí: na prova faça exatamente esses passos — calcule
, escreva uma curva genérica na superfície, aplique a regra da cadeia e conclua que o produto escalar é zero.
Resposta
As superfícies de nível de
são perpendiculares ao vetor gradiente
.