Para traçar uma curva em 3D do tipo \vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) no Wolfram Alpha use o seguinte comando: parametricplot3d ([{\mathrm{x}(\mathrm{t}), \mathrm{y}(\mathrm{t}), \mathrm{z}(\mathrm{t})}, {\mathrm{t}, \mathrm{ti}, \mathrm{tf}}]) onde ti e tf são os valores inicial e final do parâmetro, respectivamente. Use a ferramenta computacional para traças a imagem das seguintes curvas:
\vec{r}(t)=\operatorname{sen}(\pi t) \vec{i}+t \vec{j}+\cos (\pi t) \vec{k}, 0 \leq t \leq 4 \pi)

Passo 1

O enunciado pede que eu gere a imagem da curva paramétrica
\vec{r}(t)=\sin(\pi t)\,\vec{i}+t\,\vec{j}+\cos(\pi t)\,\vec{k}
no intervalo 0 \le t \le 4\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função paramétrica é \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=\sin(\pi t), y(t)=t, z(t)=\cos(\pi t).
  • O parâmetro varia em t\in[0,4\pi].
  • O objetivo é traçar essa curva usando Wolfram|Alpha.

Passo 2

O que é preciso colocar no Wolfram|Alpha: ele aceita um comando no estilo
\text{parametricplot3d}([\{x(t),y(t),z(t)\},\{t,ti,tf\}]).
Substituindo pelos componentes da nossa curva obtemos o comando que o WA entende:
\text{parametricplot3d}\big([\{\sin(\pi t),\;t,\;\cos(\pi t)\},\;\{t,\;0,\;4\pi\}\big])
Esse é o texto exato que deve ser copiado e colado na caixa de busca do Wolfram|Alpha.

Passo 3

Como usar na prática (passo a passo):
  1. Abrir o site https://www.wolframalpha.com (ou o app).
  2. Copiar exatamente o seguinte texto e colar na caixa de busca:
\text{parametricplot3d}\big([\{\sin(\pi t),\;t,\;\cos(\pi t)\},\;\{t,\;0,\;4\pi\}\big])
  1. Pressionar Enter. O Wolfram|Alpha vai gerar a plotagem 3D interativa. Pode-se girar com o mouse, dar zoom e inspecionar a curva.

Passo 4

Breve explicação didática do que a curva é (para você entender o que vai aparecer na tela):
  • Projetando em x e z:
x(t)^2+z(t)^2=\sin^2(\pi t)+\cos^2(\pi t)=1,
ou seja, a projeção no plano xz é um círculo de raio 1.
  • Como y(t)=t cresce linearmente com t, a curva é uma hélice ao redor do cilindro de raio 1.
  • Período angular: \theta(t)=\pi t. Um giro completo em (x,z) ocorre quando \theta aumenta 2\pi, isto é quando t aumenta de \Delta t=2.
  • Número de voltas em t\in[0,4\pi]:
N=\frac{4\pi}{2}=2\pi\approx 6{,}283\\ \text{voltas}.
  • Altura total (variação em y): y(4\pi)-y(0)=4\pi\approx 12{,}566. Assim, a hélice dá cerca de 6{,}28 voltas subindo 4\pi unidades ao longo do eixo y.

Passo 5

Dicas extras para visualização no Wolfram|Alpha:
  • Se quiser ver rótulos de eixo, ou cores que indiquem o parâmetro t, experimente abrir o resultado no Mathematica (se disponível) ou pedir no WA por termos como “with axes labels” ou “color by t” após o comando.
  • Caso o WA não aceite alguma opção, outra alternativa é usar o Mathematica ou Python/Matplotlib/Plotly com o mesmo vetor (\sin(\pi t),t,\cos(\pi t)) e t de 0 a 4\pi.

Resposta

\text{parametricplot3d}\big([\{\sin(\pi t),\;t,\;\cos(\pi t)\},\;\{t,\;0,\;4\pi\}\big])

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