Calcule ointC F d r para os campos de vetores F e curvas C dadas em cada item:
F(x, y, z)=(y, z, x) e C é a curva obtida como interseção do plano y+z=2 e a esfera x^2+y^2+z^2=2(y+z) orientada no sentido horário quando a mesma é observada a partir da origem do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y, z) = (y, z, x) e a curva C é a interseção do plano y + z = 2 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2(y + z). A curva está orientada no sentido horário quando vista a partir da origem em R^3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície limitada por essa curva. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • ointC F cdot dr é a integral de linha que queremos calcular.
  • integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS é a integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como fronteira.
  • nabla times F é o rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de F e escolher uma superfície S que seja fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para nosso campo F(x, y, z) = (y, z, x):
  • partial Fzpartial y = partial xpartial y = 0
  • partial Fypartial z = partial zpartial z = 1
  • partial Fxpartial z = partial ypartial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial xpartial x = 1
  • partial Fypartial x = partial zpartial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial ypartial y = 1
Portanto,
nabla times F = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja borda seja a curva C. A curva C é a interseção do plano y + z = 2 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2(y + z). Podemos simplificar a equação da esfera substituindo y + z por 2, já que estamos na interseção.
x^2 + y^2 + z^2 = 2(y + z) Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 4
Então, a interseção é um círculo no plano y + z = 2 com raio determinado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.
Vamos escolher a superfície S como parte do plano y + z = 2 dentro da esfera. Isso facilita o cálculo, já que um plano é mais fácil de trabalhar do que uma esfera.

Passo 5

Precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano y + z = 2, podemos encontrar o vetor normal a esse plano. O vetor normal a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é (A, B, C). No nosso caso, o plano é y + z - 2 = 0, então o vetor normal é (0, 1, 1).
Mas precisamos ter atenção à orientação. A curva C está orientada no sentido horário quando vista da origem. Pelo Teorema de Stokes, a orientação da superfície deve seguir a regra da mão direita com essa orientação da curva. Portanto, o vetor normal deve apontar na direção oposta ao vetor (0, 1, 1) para corresponder à orientação dada.
Então, o vetor normal correto é n = (0, -1, -1).

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS.
Já temos:
  • nabla times F = (-1, -1, -1)
  • n = (0, -1, -1)
O produto escalar (nabla times F) cdot n é:
(-1)(0) + (-1)(-1) + (-1)(-1) = 0 + 1 + 1 = 2
Então, a integral fica:
integral duplaS 2 , dS = 2 cdot Área de S Á

Passo 7

Precisamos agora calcular a área da superfície S, que é um círculo no plano y + z = 2 com raio r. Sabemos que a esfera é x^2 + y^2 + z^2 = 4 e o círculo está no plano y + z = 2.
Para encontrar o raio do círculo, vamos substituir z = 2 - y na equação da esfera:
x^2 + y^2 + (2 - y)^2 = 4
x^2 + y^2 + 4 - 4y + y^2 = 4
x^2 + 2y^2 - 4y = 0
x^2 + 2(y^2 - 2y) = 0
Completando o quadrado para y:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Então:
x^2 + 2[(y - 1)^2 - 1] = 0 Rightarrow x^2 + 2(y - 1)^2 = 2
Isso representa um círculo com raio raiz2 no plano y + z = 2.
A área de um círculo é pi r^2, então:
Área de S = pi (raiz2)^2 = pi cdot 2 = 2pi Á

Passo 8

Agora, voltando à nossa integral:
integral duplaS 2 , dS = 2 cdot Área de S = 2 cdot 2pi = 4pi Á

Resposta

A integral ointC F cdot dr vale 4pi.

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