Calcule
para os campos de vetores
e curvas
dadas em cada item:
e
é a curva obtida como interseção do plano
e a esfera
orientada no sentido horário quando a mesma é observada a partir da origem do
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
é a interseção do plano
com a esfera
. A curva está orientada no sentido horário quando vista a partir da origem em
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície limitada por essa curva. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Onde:
-
é a integral de linha que queremos calcular. -
é a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. -
é o rotacional de . -
é o vetor normal à superfície .
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de
e escolher uma superfície
que seja fácil de trabalhar.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para nosso campo
:
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a curva
. A curva
é a interseção do plano
com a esfera
. Podemos simplificar a equação da esfera substituindo
por 2, já que estamos na interseção.
Então, a interseção é um círculo no plano
com raio determinado pela esfera
.
Vamos escolher a superfície
como parte do plano
dentro da esfera. Isso facilita o cálculo, já que um plano é mais fácil de trabalhar do que uma esfera.
Passo 5
Precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como
está no plano
, podemos encontrar o vetor normal a esse plano. O vetor normal a um plano
é
. No nosso caso, o plano é
, então o vetor normal é
.
Mas precisamos ter atenção à orientação. A curva
está orientada no sentido horário quando vista da origem. Pelo Teorema de Stokes, a orientação da superfície deve seguir a regra da mão direita com essa orientação da curva. Portanto, o vetor normal deve apontar na direção oposta ao vetor
para corresponder à orientação dada.
Então, o vetor normal correto é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície
.
Já temos:
O produto escalar
é:
Então, a integral fica:
Passo 7
Precisamos agora calcular a área da superfície
, que é um círculo no plano
com raio
. Sabemos que a esfera é
e o círculo está no plano
.
Para encontrar o raio do círculo, vamos substituir
na equação da esfera:
Completando o quadrado para
:
Então:
Isso representa um círculo com raio
no plano
.
A área de um círculo é
, então:
Passo 8
Agora, voltando à nossa integral:
Resposta
A integral
vale
.