Calcule
para os campos de vetores
e curvas
dadas em cada item:
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
para o campo vetorial
ao longo da curva
. A curva
é onde o cilindro
intersecta o plano
, e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial, especificamente aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Então, temos um cilindro circular com raio 1, centrado na linha
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a curva
que é a interseção desse cilindro com o plano
. Isso significa que para cada ponto na curva
, as coordenadas
e
são iguais. Portanto, podemos parametrizar a curva usando um ângulo
para facilitar os cálculos.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar:
E como
, então:
Aqui,
varia de
a
para percorrer toda a curva uma vez.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada do vetor posição
em relação a
para obter
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores de
,
e
na função
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando os termos:
Observamos que
e
se cancelam, assim como
e
.
Então, fica:
Passo 8
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 9
Calculando cada integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 10
Substituindo os resultados: