Calcule ointC F d r para os campos de vetores F e curvas C dadas em cada item:
F(x, y, z)=(y+z,-z, y) e C é a curva obtida como interseção do cilindro x^2+y^2=2 y com o plano z=y orientada no sentido anti-horário quando vista de cima;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha ointC F , dr para o campo vetorial F(x, y, z) = (y + z, -z, y) ao longo da curva C. A curva C é onde o cilindro x^2 + y^2 = 2y intersecta o plano z = y, e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial, especificamente aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro x^2 + y^2 = 2y. Podemos reescrever isso completando o quadrado:
x^2 + y^2 - 2y = 0
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Então, temos um cilindro circular com raio 1, centrado na linha y = 1.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a curva C que é a interseção desse cilindro com o plano z = y. Isso significa que para cada ponto na curva C, as coordenadas z e y são iguais. Portanto, podemos parametrizar a curva usando um ângulo theta para facilitar os cálculos.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva C. Como x^2 + (y - 1)^2 = 1, podemos usar:
x = costheta
y = 1 + sintheta
E como z = y, então:
z = 1 + sintheta
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para percorrer toda a curva uma vez.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada do vetor posição r(theta) em relação a theta para obter dr:
r(theta) = (costheta, 1 + sintheta, 1 + sintheta)
drdtheta = (-sintheta, costheta, costheta)
Então,
dr = (-sintheta, costheta, costheta) dtheta

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de x, y e z na função F:
F(x, y, z) = (y + z, -z, y) = (1 + sintheta + 1 + sintheta, - (1 + sintheta), 1 + sintheta)
Simplificando:
F = (2 + 2sintheta, -1 - sintheta, 1 + sintheta)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (2 + 2sintheta)(-sintheta) + (-1 - sintheta)(costheta) + (1 + sintheta)(costheta)
Simplificando os termos:
F cdot dr = -2sintheta - 2sin^2theta - costheta - sintheta costheta + costheta + sintheta costheta
Observamos que -costheta e +costheta se cancelam, assim como -sintheta costheta e +sintheta costheta.
Então, fica:
F cdot dr = -2sintheta - 2sin^2theta

Passo 8

Agora, precisamos integrar essa expressão de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi (-2sintheta - 2sin^2theta) dtheta
Vamos separar as integrais:
-2 integral0^2pi sintheta , dtheta - 2 integral0^2pi sin^2theta , dtheta

Passo 9

Calculando cada integral:
Primeira integral:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 (porque a integral de seno em um período completo é zero)
Segunda integral:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi (usando a identidade sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 e integrando de 0 a 2pi)

Passo 10

Substituindo os resultados:
-2 times 0 - 2 times pi = -2pi

Resposta

ointC F , dr = -2pi

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