Calcule
, onde
é a fronteira da coroa circular centrada na origem, raio menor igual a 1 e raio maior igual a 3, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de uma coroa circular centrada na origem, com raio menor igual a 1 e raio maior igual a 3, orientada positivamente. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e
em relação a
:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a diferença é:
Passo 4
Agora que temos a expressão dentro da integral dupla, vamos configurar essa integral sobre a região
, que é a coroa circular entre os raios 1 e 3. Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos agora integrar em coordenadas polares. Os limites para
vão de 1 a 3, e para
de 0 a
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.