Calcule ointC(2 y-x^4) d x+(y^2-4 x) d y, onde C é a fronteira da coroa circular centrada na origem, raio menor igual a 1 e raio maior igual a 3, orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointC (2y - x^4) dx + (y^2 - 4x) dy, onde C é a fronteira de uma coroa circular centrada na origem, com raio menor igual a 1 e raio maior igual a 3, orientada positivamente. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a integral de linha ointC (M dx + N dy) pode ser transformada em uma integral dupla sobre D da diferença das derivadas parciais de N em relação a x e M em relação a y:
ointC (M dx + N dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx dy

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa integral:
M = 2y - x^4 e N = y^2 - 4x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (y^2 - 4x) = -4
partial Mpartial y = partialpartial y (2y - x^4) = 2
Portanto, a diferença é:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -4 - 2 = -6

Passo 4

Agora que temos a expressão dentro da integral dupla, vamos configurar essa integral sobre a região D, que é a coroa circular entre os raios 1 e 3. Em coordenadas polares, x = r cos theta e y = r sin theta, e o elemento de área dx dy vira r dr dtheta.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (-6) , dx dy = -6 integral duplaD r , dr dtheta

Passo 5

Vamos agora integrar em coordenadas polares. Os limites para r vão de 1 a 3, e para theta de 0 a 2pi:
-6 integral0^2pi integral1^3 r , dr dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral1^3 r , dr = [ 12 r^2 ]1^3 = 12 (9 - 1) = 82 = 4

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
-6 integral0^2pi 4 , dtheta = -24 integral0^2pi dtheta = -24 times 2pi = -48pi

Resposta

A integral vale -48pi.

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