Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e em caso afirmativo, obtenha uma função potencial do campo:
F(x, y)=(x^2+y^2, y^2-x^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = (x^2 + y^2, y^2 - x^2) é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. O que isso significa? Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função phi(x, y) tal que suas derivadas parciais dão exatamente os componentes do campo F . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Para campos em duas dimensões, uma condição importante é que a derivada parcial da primeira componente de F em relação a y deve ser igual à derivada parcial da segunda componente em relação a x . Ou seja, precisamos checar se:
partial F1partial y = partial F2partial x
Calculando:
F1 = x^2 + y^2 Rightarrow partial F1partial y = 2y
F2 = y^2 - x^2 Rightarrow partial F2partial x = -2x
Como 2y neq -2x a menos que x e y sejam específicos, o campo F não é conservativo em geral.

Passo 3

Como já vimos que o campo F não satisfaz a condição necessária para ser conservativo, não precisamos procurar uma função potencial. Ou seja, não existe uma função phi(x, y) que gere esse campo vetorial através de suas derivadas parciais de forma geral.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) = (x^2 + y^2, y^2 - x^2) não é conservativo, portanto não existe uma função potencial para ele.

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