Calcule a capacitância de um capacitor constituído por dois cilindros de raios a e b(a de altura h. O dielétrico colocado entre as placas condutoras possui varepsilonr=1. Despreze espraiamento (efeitos de borda).

Passo 1

Beleza, a questão pede pra calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico, ou seja, dois cilindros coaxiais de altura , raio interno e externo ( ). O dielétrico entre eles é vazio ( ) e a gente ignora as bordas.
Conteúdo: eletrostática básica de capacitores. Vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, depois integrar pra obter a diferença de potencial , e por fim usar a definição de capacitância .

Passo 2

Primeiro, Lei de Gauss pra achar Phi = oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0, .
  1. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E(r),(2pi r h) = lambda hvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = lambda2pivarepsilon0,r, , com , e comprimento .
  2. A carga total envolvida é , distribuída no cilindro interno. Em densidade linear isso dá .
  3. A Lei de Gauss diz
Como é radial e constante sobre nossa superfície, . E .
Então

Passo 3

Agora vamos ao potencial V = -integrala^b Ecdot dl = -integrala^b E(r),dr . A diferença de potencial entre o cilindro interno ( V = -integrala^b lambda2pivarepsilon0,r,dr = -lambda2pivarepsilon0 l[ln rr]a^b = lambda2pivarepsilon0lnba ) e o externo ( ) é
Como aponta radialmente para fora, e escolhemos também radial, temos
(Troca o sinal porque aponta do interno pro externo e a diferença é .)

Passo 4

Por fim, a capacitância é definida como
C = QV,
Como V = Q/h2pivarepsilon0lnba Longrightarrow C = QV = Ql(tfracQ2pivarepsilon0,hlnbar) = 2pivarepsilon0,hln!tfracba , a gente substitui em :

Resposta

boxedC = 2pi ,varepsilon0 , hln!l(tfracbar)

Exercícios relacionados