Calcule a capacitância de um capacitor constituído por dois cilindros de raios
e
de altura
. O dielétrico colocado entre as placas condutoras possui
. Despreze espraiamento (efeitos de borda).
Passo 1
Beleza, a questão pede pra calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico, ou seja, dois cilindros coaxiais de altura
, raio interno
e externo
(
). O dielétrico entre eles é vazio (
) e a gente ignora as bordas.
Conteúdo: eletrostática básica de capacitores. Vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, depois integrar
pra obter a diferença de potencial
, e por fim usar a definição de capacitância
.
Conteúdo: eletrostática básica de capacitores. Vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico
Passo 2
Primeiro, Lei de Gauss pra achar
.
- Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
, com , e comprimento . - A carga total envolvida é
, distribuída no cilindro interno. Em densidade linear isso dá . - A Lei de Gauss diz
Como
é radial e constante sobre nossa superfície,
. E
.
Então
Então
Passo 3
Agora vamos ao potencial
. A diferença de potencial entre o cilindro interno (
) e o externo (
) é
Como
aponta radialmente para fora, e escolhemos
também radial, temos
(Troca o sinal porque
aponta do interno pro externo e a diferença é
.)
Passo 4
Por fim, a capacitância é definida como
Como
, a gente substitui em
: