Um condutor em forma de anel com raio
possui uma carga positiva
uniformemente distribuída ao longo do anel. O centro do anel está na origem do sistema de coordenadas.
Deduza a equação para o campo elétrico produzida pelo anel num ponto P situado a uma distância x .
Deduza a equação para o campo elétrico produzida pelo anel num ponto P situado a uma distância x .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está dizendo! Temos um anel com raio $ R = 3,0 , cm $ que está carregado positivamente com uma carga total de $ Q = +0,15 , nC $, e essa carga está distribuída de forma uniforme ao redor do anel. O centro do anel está na origem do sistema de coordenadas. A gente precisa descobrir qual é a equação que descreve o campo elétrico produzido por esse anel em um ponto $ P $ que está a uma distância $ x $ do centro do anel, ao longo do eixo do anel.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, especialmente quando a carga está distribuída de forma simétrica, como em um anel. Vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para somar os campos elétricos de cada parte da carga distribuída.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ devido a uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
onde:
- $ Q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
No caso de uma distribuição contínua de carga, a gente tem que somar o campo elétrico de cada elemento infinitesimal de carga.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de carga $ dq $ no anel. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos expressar $ dq $ em termos da carga total $ Q $ e do comprimento do anel.
O comprimento total do anel é a circunferência, que é $ 2\pi R $. Então, a densidade linear de carga $ \lambda $ é:
Assim, um elemento de carga $ dq $ correspondente a um pequeno ângulo $ d\theta $ é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o campo elétrico $ d\mathbf{E} $ gerado por esse elemento de carga $ dq $ no ponto $ P $. O ponto $ P $ está a uma distância $ x $ ao longo do eixo do anel.
A distância entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto $ P $ é dada por:
E o campo elétrico devido a $ dq $ é:
Passo 5
Devido à simetria do anel, os componentes horizontais dos campos elétricos provenientes de elementos de carga opostos se cancelam. Só resta a componente vertical (ao longo do eixo) que contribui para o campo total.
A componente do campo na direção do eixo é:
onde $ \phi $ é o ângulo entre $ \mathbf{r} $ e o eixo. Podemos encontrar $ \cos\phi $ usando:
Passo 6
Substituindo $ dE $ e $ \cos\phi $ na expressão de $ dE_x $, temos:
Agora, vamos integrar isso ao redor de todo o anel para obter o campo total $ E_x $:
Resposta
A equação para o campo elétrico produzido pelo anel no ponto $ P $ é: