Calcule a capacitância de um condutor cilíndrico que consiste de dois condutores, cada um deles de comprimento L. Um dos condutores é um cilindro de raio Rl com carga + q e o segundo cilindro é uma casca cilíndrica coaxial de raio interno R2 com carga -q, onde R1.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a capacitância de um sistema de dois cilindros coaxiais: um fio cilíndrico de raio com carga e uma casca cilíndrica ao redor, de raio interno , com carga . Ambos têm comprimento . Isso é papo de eletrostática: a gente vai usar a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico entre os cilindros, depois calcular a diferença de potencial e por fim usar a definição de capacitância .

Passo 2

Primeiro, Lei de Gauss pra simetria cilíndrica. Imagina um cilindro gaussiano de raio Phi = oint vec E cdot dvec A = qintvarepsilon0 , com E(r)times (2pi r L) = qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = q2pivarepsilon0,L,r , comprimento . A lei de Gauss diz que
Como é radial e constante na superfície lateral do cilindro, a gente tem

Passo 3

Agora bora achar a diferença de potencial entre o cilindro interno (raio V = -integralR1^R2 vec Ecdot dvec ell ) e o externo (raio V = -integralR1^R2 E(r),dr = -integralR1^R2 q2pivarepsilon0 L,r,dr = -q2pivarepsilon0 L,l[ln rr]R1^R2 = q2pivarepsilon0 Lln!l(tfracR2R1r) ). A definição de diferença de potencial é
Como é radial e aponta pra fora, e também é radial, dá

Passo 4

Por fim, a capacitância é definida como
C = qV
Substituindo o C = qq2pivarepsilon0 Lln!l(tfracR2R1r) = 2pivarepsilon0,Lln!l(tfracR2R1r) que a gente achou:

Resposta

boxedC = 2pivarepsilon0,Lln!l(tfracR2R1r)

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