Um dipolo elétrico consiste de uma carga puntiforme +q no eixo x em
e uma carga puntiforme negativa
no eixo
em
. Determine o potencial num ponto
a uma distância
do centro do dipolo para
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é composto por duas cargas pontuais: uma carga positiva $ +q $ localizada no ponto $ x = +\frac{L}{2} $ e uma carga negativa $ -q $ no ponto $ x = -\frac{L}{2} $. O objetivo é determinar o potencial elétrico no ponto $ P $, que está a uma distância $ x $ do centro do dipolo ao longo do eixo $ x $, onde $ x > +\frac{L}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico de cargas puntiformes e somar as contribuições de cada carga no dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ gerado por uma carga pontual $ q $ a uma distância $ r $ é dado pela fórmula:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $).
Passo 3
No nosso caso, temos duas cargas: $ +q $ e $ -q $. Vamos calcular o potencial devido a cada uma delas no ponto $ P $.
- Potencial devido à carga $ +q $:
A distância da carga $ +q $ até o ponto $ P $ é $ x - \frac{L}{2} $. Portanto, o potencial $ V_+ $ é:
- Potencial devido à carga $ -q $:
A distância da carga $ -q $ até o ponto $ P $ é $ x + \frac{L}{2} $. Portanto, o potencial $ V_- $ é:
Passo 4
O potencial total $ V $ no ponto $ P $ é a soma dos potenciais individuais $ V_+ $ e $ V_- $:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Podemos fatorar o denominador para facilitar a expressão:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, especialmente se $ x $ for significativamente maior que $ L $, podemos considerar uma aproximação:
Isso é válido quando $ \frac{L2}{4x2} $ é muito pequeno, ou seja, $ x \gg L $.
Resposta
O potencial elétrico no ponto $ P $ é dado por:
ou, na aproximação para $ x \gg L $: