Um dipolo elétrico consiste de uma carga puntiforme +q no eixo x em x= +L / 2 e uma carga puntiforme negativa -q no eixo x em x=-L / 2. Determine o potencial num ponto P a uma distância x do centro do dipolo para x>+L / 2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é composto por duas cargas pontuais: uma carga positiva $ +q $ localizada no ponto $ x = +\frac{L}{2} $ e uma carga negativa $ -q $ no ponto $ x = -\frac{L}{2} $. O objetivo é determinar o potencial elétrico no ponto $ P $, que está a uma distância $ x $ do centro do dipolo ao longo do eixo $ x $, onde $ x > +\frac{L}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico de cargas puntiformes e somar as contribuições de cada carga no dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ gerado por uma carga pontual $ q $ a uma distância $ r $ é dado pela fórmula:
V
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $).

Passo 3

No nosso caso, temos duas cargas: $ +q $ e $ -q $. Vamos calcular o potencial devido a cada uma delas no ponto $ P $.
  • Potencial devido à carga $ +q $:
A distância da carga $ +q $ até o ponto $ P $ é $ x - \frac{L}{2} $. Portanto, o potencial $ V_+ $ é:
+q
  • Potencial devido à carga $ -q $:
A distância da carga $ -q $ até o ponto $ P $ é $ x + \frac{L}{2} $. Portanto, o potencial $ V_- $ é:
-q

Passo 4

O potencial total $ V $ no ponto $ P $ é a soma dos potenciais individuais $ V_+ $ e $ V_- $:
V

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
V = k cdot q ( 1x - L2 - 1x + L2 )
Para somar as frações, vamos encontrar um denominador comum:
V = k cdot q ( (x + L2) - (x - L2)(x - L2)(x + L2) )
Simplificando o numerador:
(x + L2) - (x - L2) = x + L2 - x + L2 = L
E o denominador:
(x - L2)(x + L2) = x^2 - (L2)^2 = x^2 - L^24

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = k cdot q cdot Lx^2 - L^24
Podemos fatorar o denominador para facilitar a expressão:
V = k cdot q cdot Lx^2 (1 - L^24x^2) = k cdot q cdot Lx^2 cdot 11 - L^24x^2

Passo 7

Para simplificar ainda mais, especialmente se $ x $ for significativamente maior que $ L $, podemos considerar uma aproximação:
x
Isso é válido quando $ \frac{L2}{4x2} $ é muito pequeno, ou seja, $ x \gg L $.

Resposta

O potencial elétrico no ponto $ P $ é dado por:
P
ou, na aproximação para $ x \gg L $:
V = k cdot q cdot Lx^2 - L^24

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