Um cubo muito pequeno de massa m é colocado dentro de um funil que gira em volta de um eixo vertical à taxa constante de f revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo theta com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é mue e o centro do cubo está à distância r do eixo de rotação. Encontre
(a) o maior valor de f para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.

Passo 1

Beleza, vamos entender primeiro o que o enunciado tá pedindo. Temos um cubinho de massa m apoiado na parede interna de um funil que gira em torno de um eixo vertical com frequência f (revoluções por segundo). A parede do funil forma ângulo theta com a horizontal e o coeficiente de atrito estático entre cubo e funil é mue. O centro do cubo fica a uma distância r do eixo de rotação.
Conteúdo: estática em referencial não‐inercial (força centrífuga), decomposição de forças, equilíbrio estático e atrito.
O que precisamos:
  • Desenhar diagrama de forças no cubo (peso, normal, atrito e força centrífuga).
  • Projetar essas forças no sistema de eixos perpendicular e paralelo à parede do funil.
  • Usar condição de equilíbrio para não haver deslizamento e achar a frequência máxima f.

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças no referencial que gira com o funil, o cubo “vê” quatro forças:
  1. Peso: vec P = m,vec g (vertical pra baixo).
  2. Força centrífuga: vec Frm cf = m,omega^2,r (horizontal, pra fora). Aqui omega = 2pi f.
  3. Força normal vec N da parede do funil, perpendicular à superfície inclinada em ângulo theta acima da horizontal.
  4. Força de atrito estático vec Fat, que atua tangencialmente à parede, impedindo o cubo de deslizar pra cima (pois a centrífuga tende a empurrar o cubo para cima na rampa).

Passo 3

Agora, escolhemos dois eixos:
  • eixo perp à superfície (normal ao plano inclinado).
  • eixo paral<=l à superfície (paralelo ao plano inclinado, positivo para cima na rampa).
Projetando vec P e vec Frm cf nesses eixos:
  1. No eixo perp:
    • Componente do peso: Pperp = m g costheta (empurra o cubo contra a parede).
    • Componente da centrífuga: Frm cf,perp = momega^2 r sintheta (também “gruda” o cubo na parede).
      Então, equilíbrio nessa direção diz N = m g costheta + momega^2 r sintheta.

Passo 4

  1. No eixo paral<=l:
    • Componente do peso ao longo da rampa (puxa o cubo pra baixo): Pparal<=l = m g sintheta.
    • Componente da centrífuga ao longo da rampa (empurra o cubo pra cima): Frm cf,paral<=l = momega^2 r costheta.
      Para o cubo não deslizar, o atrito máximo Fat,max = mue,N deve ser maior ou igual à tendência de deslizamento, que aqui é para cima:
    Frm cf,paral<=l - Pparal<=l <= Fat,max Substituindo: momega^2 rcostheta - m gsintheta ;<=; mue,l(m gcostheta + momega^2 rsinthetar)

Passo 5

Agora isola omega^2:
  1. Expande o lado direito: momega^2 rcostheta - m gsintheta <= mue,m gcostheta + mue,momega^2 rsintheta
  2. Agrupa termos com omega^2: momega^2 rcostheta - mue,momega^2 rsintheta <= m gsintheta + mue,m gcostheta
  3. Fatora m r no lado esquerdo e m g no direito, depois divide por m r: omega^2l(costheta - muesinthetar) <= grl(sintheta + muecosthetar)
  4. Logo, omega^2 <= gr, sintheta + muecostheta costheta - muesintheta

Passo 6

Lembremos que omega = 2pi f. Então
(2pi f)^2 <= gr, sintheta + muecostheta costheta - muesintheta
Isolando f, a frequência máxima é:
fmax = 12pi raizgr,sintheta + muecostheta costheta - muesintheta

Resposta

fmax = dfrac12pi,raizdfracgr,dfracsintheta + mue,costhetacostheta - mue,sintheta,.

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