Um cubo muito pequeno de massa
é colocado dentro de um funil que gira em volta de um eixo vertical à taxa constante de
revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo
com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é
e o centro do cubo está à distância
do eixo de rotação. Encontre
(a) o maior valor de
para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.
(a) o maior valor de
Passo 1
Beleza, vamos entender primeiro o que o enunciado tá pedindo. Temos um cubinho de massa
apoiado na parede interna de um funil que gira em torno de um eixo vertical com frequência
(revoluções por segundo). A parede do funil forma ângulo
com a horizontal e o coeficiente de atrito estático entre cubo e funil é
. O centro do cubo fica a uma distância
do eixo de rotação.
Conteúdo: estática em referencial não‐inercial (força centrífuga), decomposição de forças, equilíbrio estático e atrito.
O que precisamos:
Conteúdo: estática em referencial não‐inercial (força centrífuga), decomposição de forças, equilíbrio estático e atrito.
O que precisamos:
- Desenhar diagrama de forças no cubo (peso, normal, atrito e força centrífuga).
- Projetar essas forças no sistema de eixos perpendicular e paralelo à parede do funil.
- Usar condição de equilíbrio para não haver deslizamento e achar a frequência máxima
.
Passo 2
Desenhando o diagrama de forças no referencial que gira com o funil, o cubo “vê” quatro forças:
- Peso:
(vertical pra baixo). - Força centrífuga:
(horizontal, pra fora). Aqui . - Força normal
da parede do funil, perpendicular à superfície inclinada em ângulo acima da horizontal. - Força de atrito estático
, que atua tangencialmente à parede, impedindo o cubo de deslizar pra cima (pois a centrífuga tende a empurrar o cubo para cima na rampa).
Passo 3
Agora, escolhemos dois eixos:
- eixo
à superfície (normal ao plano inclinado). - eixo
à superfície (paralelo ao plano inclinado, positivo para cima na rampa).
Projetando
e
nesses eixos:
- No eixo
: - Componente do peso:
(empurra o cubo contra a parede). - Componente da centrífuga:
(também “gruda” o cubo na parede).
Então, equilíbrio nessa direção diz.
- Componente do peso:
Passo 4
- No eixo
: - Componente do peso ao longo da rampa (puxa o cubo pra baixo):
. - Componente da centrífuga ao longo da rampa (empurra o cubo pra cima):
.
Para o cubo não deslizar, o atrito máximodeve ser maior ou igual à tendência de deslizamento, que aqui é para cima:
Substituindo: - Componente do peso ao longo da rampa (puxa o cubo pra baixo):
Passo 5
Agora isola
:
- Expande o lado direito:
- Agrupa termos com
: - Fatora
no lado esquerdo e no direito, depois divide por : - Logo,
Passo 6
Lembremos que
. Então
Isolando
, a frequência máxima é: