Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
lim w 1 raizw-1raiz2 w+3-raiz5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limwto1 raizw-1raiz2w+3-raiz5
e observar implicitamente o domínio da função.

Passo 2

Vamos identificar o domínio da função original. Temos raizw, logo w>=0, e raiz2w+3, logo 2w+3>=0implies w>=-tfrac32. Assim, a função está definida para w>=0. Note que em w=1 o denominador se anula, então a função não está definida nesse ponto, mas o limite pode existir.

Passo 3

Fazendo a substituição direta em w=1 vemos que
raiz1-1=0, raiz2cdot1+3-raiz5=raiz5-raiz5=0,
ou seja, obtemos a forma indeterminada 0/0.

Passo 4

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
raizw-1raiz2w+3-raiz5cdotraiz2w+3+raiz5raiz2w+3+raiz5 =(raizw-1)(raiz2w+3+raiz5)(2w+3)-5 =(raizw-1)(raiz2w+3+raiz5)2(w-1)

Passo 5

Agora usamos a identidade
raizw-1=(raizw-1)(raizw+1)raizw+1=w-1raizw+1
Substituindo na expressão acima e cancelando w-1 (para wneq1), obtemos
(raizw-1)(raiz2w+3+raiz5)2(w-1) =w-1raizw+1cdotraiz2w+3+raiz52(w-1) =raiz2w+3+raiz52(raizw+1)

Passo 6

Finalmente, fazemos wto1 na forma simplificada:
raiz2cdot1+3+raiz52(raiz1+1) =raiz5+raiz52cdot2 =2raiz54 =raiz52

Resposta

raiz52

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