Verifique se a função
f(x, y)= x y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
possui derivadas parciais no ponto (0,0). Isto é, verifique se partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0) existem. Caso existam, determine os seus valores. Caso não existam, justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
f(x, y)= x y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
tem derivadas parciais no ponto (0,0). Isso envolve entender o que são derivadas parciais e como calculá-las. Vamos precisar usar o conceito de limite e a definição de derivada parcial para encontrar partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k no ponto é o limite:
E similarmente para :
Vamos calcular esses limites um por um.

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h :
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0)h
Sabemos que f(h, 0) = h cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0 . Então,
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0h = 0
Agora, vamos calcular quando :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k :
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k)k
Sabemos que f(0, k) = 0 cdot k^20^2 + k^2 = 0 . Então,
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0k = 0
Vamos calcular quando :
Portanto,

Resposta

A função partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0 possui derivadas parciais no ponto e ambas são iguais a zero:

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