Verifique se a função
possui derivadas parciais no ponto
. Isto é, verifique se
e
existem. Caso existam, determine os seus valores. Caso não existam, justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
tem derivadas parciais no ponto
. Isso envolve entender o que são derivadas parciais e como calculá-las. Vamos precisar usar o conceito de limite e a definição de derivada parcial para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite:
E similarmente para
:
Vamos calcular esses limites um por um.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Sabemos que
. Então,
Agora, vamos calcular
quando
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Sabemos que
. Então,
Vamos calcular
quando
:
Portanto,
Resposta
A função
possui derivadas parciais no ponto
e ambas são iguais a zero: