Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[0,2 pi] longrightarrow R^3 dada por alpha(t)=(t, sen(t), 1+cos (t)).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva α: [0,2π]→ℝ³ definida por α(t)=(t,sen(t),1+cos(t)). O conteúdo é cálculo de comprimento de curva parametrizada e vamos precisar da derivada α’(t) e da fórmula L=integrala^b|α'(t)|,dt.

Passo 2

Derivamos cada componente de α(t).Como α(t)=(t,sen(t),1+cos(t)), sua derivada é
α'(t)=(1,cos(t),-sin(t))

Passo 3

Calculamos a norma de α’(t).Temos
|α'(t)|=raiz1^2+cos^2(t)+(-sin(t))^2=raiz1+cos^2(t)+sin^2(t)
Usando cos^2(t)+sin^2(t)=1, segue
|α'(t)|=raiz2

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L=integral0^2pi|α'(t)|,dt=integral0^2piraiz2,dt=raiz2,l[tr]0^2pi=2piraiz2

Resposta

2piraiz2

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