Calcule o comprimento da curva alpha dada por:
alpha:[-1,0] longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(t, e^t+e^-t2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva alpha:[-1,0]toR^2 definida por alpha(t)=(t,tfrace^t+e^-t2). Isso envolve o conteúdo de comprimento de arco de uma curva parametrizada: vamos precisar derivar cada componente, montar a expressão da velocidade raiz(x')^2+(y')^2 e integrar de t=-1 a t=0.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas das componentes de alpha(t). Para x(t)=t, temos x'(t)=1. Para y(t)=tfrace^t+e^-t2, aplicando derivada de exponencial, obtenho y'(t)=tfrace^t-e^-t2=sinh(t).

Passo 3

Agora, a velocidade |alpha'(t)| é
raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2 = raiz1 + sinh^2(t)
Pelo fato de cosh^2(t)-sinh^2(t)=1, concluímos que 1+sinh^2(t)=cosh^2(t) e, como cosh(t)>=0, fica
|alpha'(t)| = cosh(t)

Passo 4

Finalmente, integramos a velocidade de t=-1 até t=0:
L = integral-1^0 cosh(t) , dt = [sinh(t)]-1^0 = sinh(0) - sinh(-1) = 0 - (-sinh(1)) = sinh(1)

Resposta

sinh(1)

Exercícios relacionados