(Princípio de Duhâmel) Usando a regra integral de Leibniz
dd t integrala(t)^b(t) F(t, s) d s=F(t, b(t)) b^prime(t)-F(t, a(t)) a^prime(t)+integrala(t)^b(t) dd t F(t, s) d s,
mostre que a solução do problema de Dirichlet para a equação da onda não-homogênea com condições iniciais homogêneas
ut t=c^2 ux x+q(x, t) & se 00 u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L ut(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L
é dada por
u(x, t)=integral0^t u(x, t ; s) d s
onde u(x, t ; s) é a solução do problema de Dirichlet para a equação da onda homogênea
ut t(x, t ; s)=c^2 ux x(x, t ; s) & se 0 <= x <= L e t>s, u(0, t ; s)=u(L, t ; s)=0 & se t >= s, u(x, s ; s)=0 & se 0 <= x <= L ut(x, s ; s)=q(x, s) & se 0 <= x <= L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Princípio de Duhamel junto com a regra integral de Leibniz para mostrar a solução de um problema de Dirichlet para a equação da onda não-homogênea com condições iniciais homogêneas. Basicamente, precisamos conectar uma equação complicada com uma mais simples usando essas ferramentas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra integral de Leibniz. Ela nos permite derivar uma integral que tem limites variáveis e uma função que depende do parâmetro da derivada. A fórmula geral é:
dd t integrala(t)^b(t) F(t, s) , ds = F(t, b(t)) b^prime(t) - F(t, a(t)) a^prime(t) + integrala(t)^b(t) partialpartial t F(t, s) , ds
Isso será útil para manipular a integral que representa a solução do problema.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação da onda não-homogênea dada:
utt = c^2 uxx + q(x, t)
com condições de contorno e iniciais homogêneas:
u(0, t) = u(L, t) = 0 & para t >= 0 u(x, 0) = 0 & para 0 <= x <= L ut(x, 0) = 0 & para 0 <= x <= L
Queremos mostrar que a solução é dada por:
u(x, t) = integral0^t u(x, t; s) , ds
onde u(x, t; s) resolve a versão homogênea da equação da onda com condições iniciais específicas.

Passo 4

Vamos definir u(x, t; s) como a solução do problema homogêneo:
utt(x, t; s) = c^2 uxx(x, t; s) & para 0 <= x <= L e t > s u(0, t; s) = u(L, t; s) = 0 & para t >= s u(x, s; s) = 0 & para 0 <= x <= L ut(x, s; s) = q(x, s) & para 0 <= x <= L
Isso significa que u(x, t; s) responde a uma “impulso” q(x, s) aplicado no tempo s.

Passo 5

Agora, aplicamos o Princípio de Duhamel, que basicamente diz que podemos construir a solução não-homogênea integrando as soluções homogêneas correspondentes a cada impulso q(x, s) ao longo do tempo. Ou seja, somamos todas as respostas u(x, t; s) para s de 0 a t:
u(x, t) = integral0^t u(x, t; s) , ds

Passo 6

Para confirmar que essa expressão realmente satisfaz a equação da onda não-homogênea, vamos derivar u(x, t) em relação ao tempo duas vezes e substituir na equação original.
Primeiro, derivamos uma vez:
ut(x, t) = integral0^t ut(x, t; s) , ds + u(x, t; t) cdot 1
Como u(x, t; t) = 0 (pela condição inicial u(x, t; t) = 0), fica:
ut(x, t) = integral0^t ut(x, t; s) , ds
Derivando novamente:
utt(x, t) = integral0^t utt(x, t; s) , ds + ut(x, t; t)
Novamente, ut(x, t; t) = q(x, t), então:
utt(x, t) = integral0^t c^2 uxx(x, t; s) , ds + q(x, t)

Passo 7

Substituindo u(x, t) na equação da onda original:
utt = c^2 uxx + q(x, t)
Temos que:
integral0^t c^2 uxx(x, t; s) , ds + q(x, t) = c^2 integral0^t uxx(x, t; s) , ds + q(x, t) = c^2 uxx(x, t) + q(x, t)
Isso confirma que nossa expressão para u(x, t) satisfaz a equação da onda não-homogênea com as condições dadas.

Resposta

Portanto, mostramos que a solução do problema de Dirichlet para a equação da onda não-homogênea com condições iniciais homogêneas é dada por
u(x, t) = integral0^t u(x, t; s) , ds
onde u(x, t; s) é a solução do problema homogêneo correspondente.

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