(Princípio de Duhâmel) Usando a regra integral de Leibniz
mostre que a solução do problema de Dirichlet para a equação da onda não-homogênea com condições iniciais homogêneas
é dada por
u(x, t)=integral0^t u(x, t ; s) d s
onde u(x, t ; s) é a solução do problema de Dirichlet para a equação da onda homogênea
ut t(x, t ; s)=c^2 ux x(x, t ; s) & se 0 <= x <= L e t>s, u(0, t ; s)=u(L, t ; s)=0 & se t >= s, u(x, s ; s)=0 & se 0 <= x <= L ut(x, s ; s)=q(x, s) & se 0 <= x <= L
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Princípio de Duhamel junto com a regra integral de Leibniz para mostrar a solução de um problema de Dirichlet para a equação da onda não-homogênea com condições iniciais homogêneas. Basicamente, precisamos conectar uma equação complicada com uma mais simples usando essas ferramentas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a regra integral de Leibniz. Ela nos permite derivar uma integral que tem limites variáveis e uma função que depende do parâmetro da derivada. A fórmula geral é:
Isso será útil para manipular a integral que representa a solução do problema.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação da onda não-homogênea dada:
utt = c^2 uxx + q(x, t)
com condições de contorno e iniciais homogêneas:
u(0, t) = u(L, t) = 0 & para t >= 0 u(x, 0) = 0 & para 0 <= x <= L ut(x, 0) = 0 & para 0 <= x <= L
Queremos mostrar que a solução é dada por:
u(x, t) = integral0^t u(x, t; s) , ds
onde u(x, t; s) resolve a versão homogênea da equação da onda com condições iniciais específicas.
Passo 4
Vamos definir u(x, t; s) como a solução do problema homogêneo:
utt(x, t; s) = c^2 uxx(x, t; s) & para 0 <= x <= L e t > s u(0, t; s) = u(L, t; s) = 0 & para t >= s u(x, s; s) = 0 & para 0 <= x <= L ut(x, s; s) = q(x, s) & para 0 <= x <= L
Isso significa que u(x, t; s) responde a uma “impulso” q(x, s) aplicado no tempo s.
Passo 5
Agora, aplicamos o Princípio de Duhamel, que basicamente diz que podemos construir a solução não-homogênea integrando as soluções homogêneas correspondentes a cada impulso q(x, s) ao longo do tempo. Ou seja, somamos todas as respostas u(x, t; s) para s de 0 a t:
u(x, t) = integral0^t u(x, t; s) , ds
Passo 6
Para confirmar que essa expressão realmente satisfaz a equação da onda não-homogênea, vamos derivar u(x, t) em relação ao tempo duas vezes e substituir na equação original.