Calcule caso exista, e justifique caso não exista, o limite
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite de duas variáveis: . O conteúdo principal aqui é limite de função de duas variáveis e a ideia de usar coordenadas polares para simplificar a expressão.
Passo 2
Para funções de duas variáveis, uma estratégia eficiente é trocar para coordenadas polares: definimos e , em que e é o ângulo. Assim, e a dependência em fica explícita.
Passo 3
Substituindo em bloco a expressão original, temos
$$
\frac{x y3}{x2+y^2}
E quando rto0, claramente r^2to0. Portanto, independente do valor de theta, a expressão vai a zero quando rto0. Isso mostra que o limite existe e vale zero.