Calcule caso exista, e justifique caso não exista, o limite lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^2

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de duas variáveis: lim(x,y)to(0,0)x y^3x^2+y^2. O conteúdo principal aqui é limite de função de duas variáveis e a ideia de usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Para funções de duas variáveis, uma estratégia eficiente é trocar para coordenadas polares: definimos x=rcostheta e y=rsintheta, em que r=raizx^2+y^2 e theta é o ângulo. Assim, x^2+y^2=r^2 e a dependência em r fica explícita.

Passo 3

Substituindo em bloco a expressão original, temos
$$
\frac{x y3}{x2+y^2}

\frac{\bigl(r\cos\theta\bigr),(r\sin\theta)3}{r2}

\frac{r4\cos\theta\sin3\theta}{r^2}
= r2\cos\theta\sin3\theta.
$$

Passo 4

Agora, como |costhetasin^3theta|<=1 para todo theta, segue que
l|r^2costhetasin^3thetar|<= r^2
E quando rto0, claramente r^2to0. Portanto, independente do valor de theta, a expressão vai a zero quando rto0. Isso mostra que o limite existe e vale zero.

Resposta

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