Use caminhos para verificar que o limite lim (x, y) (0,0) x^4 y^4(x^2+y^4)^3 não existe.

Passo 1

Estamos analisando o limite de duas variáveis lim(x,y)to(0,0) x^4y^4(x^2+y^4)^3. O conteúdo é limites em R^2 e vamos usar caminhos diferentes para verificar se o valor é único ou não.

Passo 2

A ideia teórica é: se aproximando de (0,0) por curvas distintas a função tende a valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

No caminho x=0, substituímos na expressão:
0^4,y^4(0^2+y^4)^3=0,
logo o limite ao longo de x=0 é 0.

Passo 4

No caminho x=y^2, fazemos x=y^2 e yto0:
(y^2)^4,y^4( (y^2)^2 + y^4 )^3=y^8,y^4(y^4+y^4)^3=y^12(2y^4)^3=y^128y^12=18
logo o limite ao longo de x=y^2 é 1/8.

Passo 5

Como obtivemos 0 em um caminho e 1/8 em outro, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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