Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
x=13 y^3+14 y, com 2 <= y <= 5;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva definida por x=tfrac13y^3+tfrac14y para 2<= y<=5. O conteúdo usado é a fórmula de comprimento de arco para curvas x(y): L=integraly1^y2raiz1+(x'(y))^2,dy.

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a y:
dxdy=ddyl(tfrac13y^3+tfrac14yr)=y^2-14y^2

Passo 3

Agora obtemos
l(dxdyr)^2=l(y^2-14y^2r)^2=y^4-tfrac12+tfrac116y^4,
e somamos 1:
1+l(dxdyr)^2=y^4+tfrac12+tfrac116y^4=l(y^2+tfrac14y^2r)^2

Passo 4

Logo,
raiz1+l(dxdyr)^2=y^2+14y^2,
portanto
L=integral2^5l(y^2+14y^2r),dy

Passo 5

Para calcular a integral, achamos a antiderivada:
integrall(y^2+14y^2r)dy=y^33-14y+C
Avaliando de 2 a 5:
L=l[tfracy^33-tfrac14yr]2^5=l(tfrac1253-tfrac120r)-l(tfrac83-tfrac18r)=156340

Resposta

156340

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