Calcule, caso exista.
lim (x, y) (0,0) 3 x^3-2 x^2 y+3 y^2 x-2 y^3x^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) tende a (0,0). O conteúdo aqui é limite em R^2 e, para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam ver a dependência em termos de r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. Substituindo
3x^3-2x^2y+3y^2x-2y^3 = 3(rcostheta)^3 - 2(rcostheta)^2(rsintheta) + 3(rsintheta)^2(rcostheta) - 2(rsintheta)^3
e o denominador x^2+y^2 = r^2.

Passo 3

Ao desenvolver o numerador vemos que cada termo é da forma r^3 vezes uma função de theta. Logo
3x^3-2x^2y+3y^2x-2y^3x^2+y^2 = r^3l(3cos^3theta -2cos^2thetasintheta +3sin^2thetacostheta -2sin^3thetar)r^2 = rcdotl(3cos^3theta -2cos^2thetasintheta +3sin^2thetacostheta -2sin^3thetar)

Passo 4

Como a expressão 3cos^3theta -2cos^2thetasintheta +3sin^2thetacostheta -2sin^3theta é limitada (não depende de r), quando rto0 temos rtimes(função de theta)to0çã independentemente de theta. Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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