Dada a função f(x)=x^3-5 x^2+a x-3x^2-1, onde a in R fixo.
Determine o valor de a para que exista o limite lim x 1 f(x). Calcule-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{3} - 5x^{2} + a x - 3}{x^{2} - 1} $ e precisamos encontrar o valor de $ a $ que faz com que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 exista. Pra isso, precisamos usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe. Quando $ x $ se aproxima de 1, o denominador $ x^{2} - 1 $ se torna 0, então para o limite existir, o numerador também deve se tornar 0 nesse ponto. Isso evitará uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $.

Passo 3

Vamos substituir $ x = 1 $ no numerador e igualar a zero para encontrar $ a $:
x = 1
Então, $ a = 7 $.

Passo 4

Agora que encontramos $ a = 7 $, vamos reescrever a função com esse valor:
a = 7
Vamos fatorar o numerador. Sabemos que $ x = 1 $ é uma raiz, então $ (x - 1) $ é um fator:
f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3x^2 - 1
Agora, fatorando $ x^{2} - 4x + 3 $:
x = 1
Então, o numerador fica:
(x - 1)
O denominador pode ser fatorado como:
x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x - 1)(x^2 - 4x + 3)

Passo 5

Substituindo as fatorações na função:
f(x) = (x - 1)^2(x - 3)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x - 3)x + 1
Agora, podemos cancelar um $ (x - 1) $ do numerador e denominador:
(x - 1)

Passo 6

Agora que simplificamos a função, podemos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
x

Resposta

O valor de $ a $ é 7 e o limite é igual a a .

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