Dada a função
, onde
fixo.
Determine o valor de a para que exista o limite
. Calcule-o.
Determine o valor de a para que exista o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{3} - 5x^{2} + a x - 3}{x^{2} - 1} $ e precisamos encontrar o valor de $ a $ que faz com que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 exista. Pra isso, precisamos usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe. Quando $ x $ se aproxima de 1, o denominador $ x^{2} - 1 $ se torna 0, então para o limite existir, o numerador também deve se tornar 0 nesse ponto. Isso evitará uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $.
Passo 3
Vamos substituir $ x = 1 $ no numerador e igualar a zero para encontrar $ a $:
Então, $ a = 7 $.
Passo 4
Agora que encontramos $ a = 7 $, vamos reescrever a função com esse valor:
Vamos fatorar o numerador. Sabemos que $ x = 1 $ é uma raiz, então $ (x - 1) $ é um fator:
Agora, fatorando $ x^{2} - 4x + 3 $:
Então, o numerador fica:
O denominador pode ser fatorado como:
Passo 5
Substituindo as fatorações na função:
Agora, podemos cancelar um $ (x - 1) $ do numerador e denominador:
Passo 6
Agora que simplificamos a função, podemos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
Resposta
O valor de $ a $ é 7 e o limite é igual a
.