Considere a função dada por
f(x)=ce^-x se x<0 ; 1 se x=0 ; 2 x+1 se x>0
Esta função é contínua em x=0? Justificando a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida de três jeitos diferentes dependendo de onde está o $ x $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua no ponto $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando $ x $ é menor que 0. Nesse caso, a função é $ f(x) = e^{-x} $.
Então, calculamos:
x
Como $ e^{-x} $ é uma função contínua, podemos simplesmente substituir $ x $ por 0:
x
Portanto, o limite pela esquerda é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando $ x $ é maior que 0. Nesse caso, a função é $ f(x) = 2x + 1 $.
Então, calculamos:
x
Aqui também, como $ 2x + 1 $ é contínua, substituímos $ x $ por 0:
x
Portanto, o limite pela direita também é 1.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o valor da função exatamente em $ x = 0 $. De acordo com o enunciado:
x = 0

Passo 5

Para a função ser contínua em $ x = 0 $, o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em 0 precisam ser iguais. Vimos que:
x = 0
limx to 0^- f(x) = 1
limx to 0^+ f(x) = 1
Como todos são iguais a 1, a função é contínua em $ x = 0 $.

Resposta

Sim, a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 0 $ porque os limites laterais e o valor da função nesse ponto são todos iguais a 1.

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