Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a
0, 32, 23, 54, 45, 76, 67, ldots

Passo 1

O enunciado pede para calcular limnto+inftyan, onde os primeiros termos são 0, tfrac32, tfrac23, tfrac54, tfrac45, tfrac76, tfrac67, … Conteúdo envolvido: limites de sequência e uso de subsequências para determinar o limite quando há dois padrões alternados.

Passo 2

Observando os termos, notamos que, para k>=1, os índices pares e ímpares seguem dois padrões:
Definimos para k>=1:
a2k=2k+12k,
e para k>=1:
a2k+1=2k2k+1

Passo 3

Calculamos primeiro o limite da subsequência dos termos pares:
limktoinftya2k=limktoinfty2k+12k=limktoinftyl(1+12kr)=1

Passo 4

Agora o limite da subsequência dos termos ímpares (para k>=1):
limktoinftya2k+1=limktoinfty2k2k+1=limktoinftyl(1-12k+1r)=1

Passo 5

Como ambas as subsequências (pares e ímpares) convergem para o mesmo valor 1, concluímos que a sequência inteira também converge para 1.

Resposta

1

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