Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a
a) n^3+3 n+14 n^3+2
c) sumk=0^n2(12)^k
e) (1+2n)^n (Lembrete: lim n +infty(1+1n)^n=e. Veja Segão 4.5 do Vol. 1.)
g) integral1^n 1x d x
i) integral0^n e^-s x d x(s>0)
k) integral2^n 1x^2-x d x
m) sen 1n
o) 1n sen n
q) (-1)^n+(-1)^nn
s) nlceil 1-(n+1)^ne n^nrceil

Passo 1

O enunciado pede para calcular diversos limites de sequências, séries e integrais quando nto+infty. Vamos usar conceitos de limites de razão de polinômios, somas geométricas, exponenciais, integrais impropriamente determinadas, aproximações assintóticas e comportamento de funções oscilantes.

Passo 2

Para o item (a) aplicamos o teorema do limite de razão de polinômios: quando ntoinfty, apenas os termos de maior grau importam. Aqui comparamos n^3 no numerador com 4n^3 no denominador, logo
limntoinfty n^3+3n+14n^3+2 = 14.

Passo 3

No item © é uma soma parcial de uma série geométrica de razão 1/2. A soma até k=n/2 é
sumk=0^n/2 l(tfrac12r)^k = 1 - (1/2)^n/2+11 - 1/2 = 2l(1 - 2^-n/2-1r)

Passo 4

Como 2^-n/2-1to0,
limntoinfty sumk=0^n/2 l(tfrac12r)^k = 2

Passo 5

No item (e) usamos o lembrete de que (1+1/n)^nto e. Aqui temos (1+2/n)^n = l[(1+2/n)^n/2r]^2, mas é mais direto reconhecer que
limntoinfty l(1+tfrac2nr)^n = e^2

Passo 6

Para (g) temos uma integral imprópria de 1/x:
integral1^n 1x,dx = [ln x]1^n = ln n

Passo 7

Como ln nto+infty, o limite diverge para +\infty.

Passo 8

No item (i) integramos e^-sx com s>0:
integral0^n e^-sx,dx = l[-tfrac1se^-sxr]0^n = 1 - e^-sns

Passo 9

Como e^-snto0,
limntoinfty integral0^n e^-sx,dx = 1s

Passo 10

Para (k) usamos frações parciais em 1/(x^2-x) = 1/(x-1) - 1/x:
integral2^n 1x^2-x,dx = l[ln(x-1) - ln xr]2^n = lnn-1n - ln12 = lnl(2n-1nr)

Passo 11

Quando ntoinfty, (n-1)/nto1, logo o limite é ln2.

Passo 12

No item (m) aplicamos a aproximação sin ysim y para yto0. Como 1/nto0,
limntoinfty sin1n = 0

Passo 13

No (o) sabemos que |sin n|<=1, então
l|1nsin nr| <= 1n to 0,

Passo 14

logo o limite é 0.

Passo 15

Para (q) escrevemos
$$a_n = (-1)^n + \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr).
$$

Passo 16

Como (-1)^n oscila entre 1 e -1 e (1+1/n)to1, não há limite (diverge oscilando).

Passo 17

No item (s) temos
$$b_n = 1 - \frac{(n+1)n}{e,nn} = 1 - \frac{(1+1/n)^n}{e}.
$$

Passo 18

Usando a expansão (1+1/n)^n = el(1 - tfrac12n + o(1/n)r), vem
$$b_n = \frac{1}{2n} + o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)>0 para granden,
$$

Passo 19

então lceil bnrceil = 1 e
n,lceil bnrceil = nto+infty

Resposta

a) 1/4; c) 2; e) e^2; g) +∞; i) 1/s; k) ln2; m) 0; o) 0; q) não existe (oscila); s) +∞.

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