Verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que duas séries de funções convergem uniformemente em um intervalo compacto [-r,r]. O conteúdo envolve o teste de Weierstrass para convergência uniforme e vamos precisar lembrar que se |f_k(x)| ≤ M_k para todo x em [-r,r] e ΣM_k converge, então Σf_k(x) converge uniformemente.
Passo 2
O teste de Weierstrass diz que, se existirem constantes M_k ≥ 0 tais que $ |f_k(x)| \le M_k $ para todo x em [-r,r] e $ \sum_{k=1}^\infty M_k < \infty $, então $ \sum_{k=1}^\infty f_k(x) $ converge uniformemente.
Passo 3
Para a parte (a) definimos . Como em qualquer x, temos
Passo 4
Tomando Mk=rk^2, notamos que sumk=1^infty Mk = rsumk=1^infty1k^2 é convergente (série p com p=2). Pelo teste de Weierstrass, a série da parte (a) converge uniformemente em [-r,r].
Passo 5
Para a parte (b) definimos fk(x)=x^kk!. Em [-r,r] vale
l|fk(x)r| = |x|^kk! <= r^kk!
Passo 6
Tomando Mk=r^kk!, temos sumk=1^infty Mk = e^r -1 < infty. Assim, pelo teste de Weierstrass, a série da parte (b) também converge uniformemente em [-r,r].
Resposta
Em ambos os casos a série converge uniformemente em [-r,r] por aplicação do teste de Weierstrass.