Verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo dado.
& a) sumk=1^+infty xx^2+k^2 em[-r, r], r>0 & b) sumk=1^+infty x^kk! em[-r, r], r>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que duas séries de funções convergem uniformemente em um intervalo compacto [-r,r]. O conteúdo envolve o teste de Weierstrass para convergência uniforme e vamos precisar lembrar que se |f_k(x)| ≤ M_k para todo x em [-r,r] e ΣM_k converge, então Σf_k(x) converge uniformemente.

Passo 2

O teste de Weierstrass diz que, se existirem constantes M_k ≥ 0 tais que $ |f_k(x)| \le M_k $ para todo x em [-r,r] e $ \sum_{k=1}^\infty M_k < \infty $, então $ \sum_{k=1}^\infty f_k(x) $ converge uniformemente.

Passo 3

Para a parte (a) definimos fk(x)=xx^2+k^2. Como x^2+k^2>= k^2 em qualquer x, temos
gl|xx^2+k^2gr| <= |x|k^2 <= rk^2

Passo 4

Tomando Mk=rk^2, notamos que sumk=1^infty Mk = rsumk=1^infty1k^2 é convergente (série p com p=2). Pelo teste de Weierstrass, a série da parte (a) converge uniformemente em [-r,r].

Passo 5

Para a parte (b) definimos fk(x)=x^kk!. Em [-r,r] vale
l|fk(x)r| = |x|^kk! <= r^kk!

Passo 6

Tomando Mk=r^kk!, temos sumk=1^infty Mk = e^r -1 < infty. Assim, pelo teste de Weierstrass, a série da parte (b) também converge uniformemente em [-r,r].

Resposta

Em ambos os casos a série converge uniformemente em [-r,r] por aplicação do teste de Weierstrass.

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