Prove que, para todo a>0, a série sumn=0^+infty a^an^2 é convergente. Conclua que lim n +infty a^nn!=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo real a>0, a série ∑_{n=0}^{∞} a^nn! é convergente, usando a teoria de séries e, em seguida, concluir que o termo geral a^nn! tende a zero quando n→∞.

Passo 2

Para testar a convergência da série, vamos aplicar o critério da razão (teste de d’Alembert). Definimos o termo geral un = a^nn!. Então calculamos o limite da razão dos termos sucessivos:
limntoinfty|un+1un| = limntoinfty a^n+1/(n+1)!a^n/n! = limntoinfty an+1 = 0
Como esse limite é menor que 1, o critério da razão garante que a série ∑ un converge absolutamente para todo a>0.

Passo 3

Em séries numéricas, um resultado essencial é que, se ∑ un converge, então necessariamente unto 0. Aplicando isso ao nosso termo geral, concluímos que o termo geral satisfaz
limntoinfty a^nn! = 0

Resposta

limntoinfty a^nn! = 0

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