Prove que, para todo , a série é convergente. Conclua que .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo real a>0, a série ∑_{n=0}^{∞} é convergente, usando a teoria de séries e, em seguida, concluir que o termo geral tende a zero quando n→∞.
Passo 2
Para testar a convergência da série, vamos aplicar o critério da razão (teste de d’Alembert). Definimos o termo geral . Então calculamos o limite da razão dos termos sucessivos:
Como esse limite é menor que 1, o critério da razão garante que a série ∑un converge absolutamente para todo a>0.
Passo 3
Em séries numéricas, um resultado essencial é que, se ∑un converge, então necessariamente unto 0. Aplicando isso ao nosso termo geral, concluímos que o termo geral satisfaz