É convergente ou divergente? Justifique.
a) sumk=2^+infty k2 k^3-k+1 b) sumk=0^+infty (k+1) e^-k2 k+3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as séries numéricas
sumk=2^inftyk2k^3 - k + 1 e
sumk=0^infty(k+1)e^-k2k+3 são convergentes ou divergentes. O assunto aqui é teste de convergência de séries: p-séries, teste da comparação limite e teste da razão.

Passo 2

Para a), definimos
ak = k2k^3 - k + 1
Como para grandes k
ak sim k2k^3 = 12k^2,
comparamos com a p-série
bk = 1k^2,
que é convergente (p = 2 > 1). Calculamos o limite
limktoinftyakbk = limktoinftytfrack2k^3 - k + 11/k^2 = limktoinftyk^32k^3 - k + 1 = 12
Como esse limite é finito e não nulo, pelo teste da comparação limite concluímos que sum ak converge.

Passo 3

Para b), chamamos
ak = (k+1)e^-k2k+3
e aplicamos o teste da razão. Calculamos
ak+1ak = (k+2)e^-(k+1)/(2k+5)(k+1)e^-k/(2k+3) = k+2k+1cdot2k+32k+5cdot e^-1
Para ktoinfty temos
limktoinftyak+1ak = tfrac12times2times e^-1 = e^-1 < 1
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

a) Convergente. b) Convergente.

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