Calcule, caso exista, lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a:
g) \frac{e^{n}-e^{-n}}{e^{n}+e^{-n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência (a_n) quando n\to\infty, em que
a_n = \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}}.
O conteúdo envolve limites de sequências e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Para simplificar a expressão, dividimos numerador e denominador por e^n. Assim, temos
a_n = \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}} = \frac{e^n\bigl(1 - e^{-2n}\bigr)}{e^n\bigl(1 + e^{-2n}\bigr)} = \frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}}.

Passo 3

Observando que e^{-2n}\to0 quando n\to\infty, substituímos na expressão:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.

Resposta

1

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