Mostre que a sequência dada é convergente:
\left(\frac{p(n)}{q(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}, em que p, q são polinômios com grau de p estritamente menor que o grau de q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
\left(\frac{p(n)}{q(n)}\right)_{n\in\mathbb{N}}
é convergente, onde p e q são polinômios e \deg p<\deg q. O conteúdo aqui é análise de limites de sequências envolvendo crescimento assintótico de polinômios. Vamos usar o fato de que, se \deg p=m e \deg q=k com m<k, então p(n) cresce como n^m e q(n) cresce como n^k, e assim a razão tende a zero.

Passo 2

Seja \deg p=m e \deg q=k com m<k. Escrevemos
p(n)=a_m n^m + a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_0, \qquad q(n)=b_k n^k + b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_0,
onde a_m\neq0 e b_k\neq0. Para grandes n, os termos de maior grau dominam, mas faremos uma estimativa precisa em termos de n^m e n^k.

Passo 3

Como p e q são polinômios, existem constantes positivas M e L e um inteiro N_0 tais que, para todo n\ge N_0, vale
|p(n)|\le M\,n^m, \qquad |q(n)|\ge L\,n^k.
(Esse tipo de desigualdade é típico: escolhemos M maior que a soma dos valores absolutos dos coeficientes de p, e L menor que \tfrac12|b_k|, garantindo que para n suficientemente grande o termo líder de q domina.)

Passo 4

Para mostrar convergência a zero, usamos a definição: dado \varepsilon>0, queremos um N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{p(n)}{q(n)}-0\right|<\varepsilon.
Pelas desigualdades do passo anterior, para n\ge N_0 temos
\left|\frac{p(n)}{q(n)}\right| \le \frac{M\,n^m}{L\,n^k} = \frac{M}{L}\,n^{m-k}.

Passo 5

Como m-k<0, definimos d=k-m>0. Então
\left|\frac{p(n)}{q(n)}\right|\le \frac{M}{L}\,\frac1{n^d}.
Queremos \frac{M}{L}\,\frac1{n^d}<\varepsilon, ou seja
n^d>\frac{M}{L\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\Bigl(\tfrac{M}{L\varepsilon}\Bigr)^{1/d}.
Escolha
N = \max\Bigl\{N_0,\, \Bigl(\tfrac{M}{L\varepsilon}\Bigr)^{1/d}\Bigr\}.
Então, para todo n\ge N, vale
\left|\frac{p(n)}{q(n)}\right|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que n\ge N implica
\bigl|p(n)/q(n)\bigr|<\varepsilon. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{q(n)}=0,
ou seja, a sequência converge.

Resposta

A sequência \bigl(p(n)/q(n)\bigr) é convergente e seu limite é 0.

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