Mostre que a sequência dada é convergente: \left(\frac{p(n)}{q(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}, em que p, q são polinômios com grau de p estritamente menor que o grau de q.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
\left(\frac{p(n)}{q(n)}\right)_{n\in\mathbb{N}}
é convergente, onde p e q são polinômios e \deg p<\deg q. O conteúdo aqui é análise de limites de sequências envolvendo crescimento assintótico de polinômios. Vamos usar o fato de que, se \deg p=m e \deg q=k com m<k, então p(n) cresce como n^m e q(n) cresce como n^k, e assim a razão tende a zero.
onde a_m\neq0 e b_k\neq0. Para grandes n, os termos de maior grau dominam, mas faremos uma estimativa precisa em termos de n^m e n^k.
Passo 3
Como p e q são polinômios, existem constantes positivas M e L e um inteiro N_0 tais que, para todo n\ge N_0, vale
|p(n)|\le M\,n^m, \qquad |q(n)|\ge L\,n^k.
(Esse tipo de desigualdade é típico: escolhemos M maior que a soma dos valores absolutos dos coeficientes de p, e L menor que \tfrac12|b_k|, garantindo que para n suficientemente grande o termo líder de q domina.)
Passo 4
Para mostrar convergência a zero, usamos a definição: dado \varepsilon>0, queremos um N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{p(n)}{q(n)}-0\right|<\varepsilon.
Pelas desigualdades do passo anterior, para n\ge N_0 temos