Calcule, caso exista, lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a:
k) \frac{\sqrt{2^{n}+1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{\sqrt{2^{n}+1}}{n}
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é comparação de crescimento: precisamos ver se o numerador, que cresce de modo exponencial, vence o crescimento linear do denominador.

Passo 2

Para n grande temos 2^{n}+1\sim 2^{n}, logo
\sqrt{2^{n}+1}\sim \sqrt{2^{n}} = 2^{\frac{n}{2}}.
Isto mostra que o numerador cresce como 2^{n/2}, isto é, exponencialmente.

Passo 3

Comparando as taxas de crescimento, o termo exponencial 2^{n/2} cresce muito mais rápido que o termo linear n. Portanto
a_{n} = \frac{\sqrt{2^{n}+1}}{n}\sim \frac{2^{\frac{n}{2}}}{n}\to +\infty
quando n\to\infty.

Resposta

O limite não existe como número finito; a sequência diverge para +\infty.

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