Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{\ln n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{\ln n}{\ln n^{2}}
converge ou diverge.
Conteúdo: testes de convergência para séries, em particular o teste da divergência (termo geral) e o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Simplificamos o termo geral. Como
\ln n^{2}=2\,\ln n,
temos
\frac{\ln n}{\ln n^{2}} =\frac{\ln n}{2\,\ln n} =\frac12.
Logo o termo geral da série é
a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac12.

Passo 3

Para qualquer série, um requisito básico de convergência é
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Aqui
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\,\frac12
não existe como zero (oscila entre \tfrac12 e -\tfrac12). Portanto a série diverge pelo teste da divergência.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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