Calcule, caso exista.
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
;
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular seis limites de funções de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolve limites multivariáveis e pra resolver vamos usar teorema do aperto, coordenadas polares e percorrer caminhos diferentes pra testar se o limite existe.
Passo 2
Vamos calcular o item (a). A função é
. Como
, a gente tem
. Quando (x,y)→(0,0), claramente
, então por aperto
.
Passo 3
Agora o (b):
. Em polares,
e
, então
. Como isso depende de
, o limite varia conforme a direção. Por exemplo, em y=0 temos
e
, mas em x=0 temos
e
. Logo não existe limite único.
Passo 4
No © temos
. Em polares isso vira
. Como
e
é limitado,
. Então o limite existe e vale 0.
Passo 5
No (d) a função é
. Em polares fica
, que depende de
. Como varia com a direção de chegada, o limite não existe.
Passo 6
O (e) é
. A princípio vários caminhos simples, tipo y=kx ou y=kx^3, dão 0, mas se a gente escolhe um caminho onde
é da mesma ordem de
, surgem valores diferentes. Por exemplo, em
temos
exemplo_formatado
e o quociente tende a 1. Como por outras direções daria 0, o limite não existe.
exemplo_formatado
e o quociente tende a 1. Como por outras direções daria 0, o limite não existe.
Passo 7
No (f) analisamos
. Em caminhos lineares
isso tende a 0, mas se escolhermos algo como
o denominador fica da mesma ordem do numerador e o limite dá por exemplo
. Como valores distintos aparecem, o limite não existe.
Resposta
(a) 0; (b) não existe; © 0; (d) não existe; (e) não existe; (f) não existe