Calcule, caso exista.
(a) lim (x, y) (0,0) x sin (1x^2+y^2);
(b) lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2;
© lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2;
(d) lim (x, y) (0,0)^2 x yx^2+y^2;
(e) lim (x, y) (0,0) x yy-x^3;
(f) lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular seis limites de funções de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolve limites multivariáveis e pra resolver vamos usar teorema do aperto, coordenadas polares e percorrer caminhos diferentes pra testar se o limite existe.

Passo 2

Vamos calcular o item (a). A função é f(x,y)=xsinl(1/(x^2+y^2)r). Como |sin|<=1, a gente tem |f(x,y)|=|x|,|sin(cdots)|<=|x|. Quando (x,y)→(0,0), claramente |x|→0, então por aperto f(x,y)→0.

Passo 3

Agora o (b): g(x,y)=xraizx^2+y^2. Em polares, x=rcosθ e raizx^2+y^2=r, então g(r,θ)=cosθ. Como isso depende de θ, o limite varia conforme a direção. Por exemplo, em y=0 temos θ=0 e g→1, mas em x=0 temos θ=π/2 e g→0. Logo não existe limite único.

Passo 4

No © temos h(x,y)=x^2raizx^2+y^2. Em polares isso vira h(r,θ)=r^2cos^2θr=rcos^2θ. Como r→0 e cos^2θ é limitado, h(r,θ)→0. Então o limite existe e vale 0.

Passo 5

No (d) a função é p(x,y)=xyx^2+y^2. Em polares fica p(r,θ)=r^2cosθsinθr^2=cosθsinθ=tfrac12sin2θ, que depende de θ. Como varia com a direção de chegada, o limite não existe.

Passo 6

O (e) é q(x,y)=xyy-x^3. A princípio vários caminhos simples, tipo y=kx ou y=kx^3, dão 0, mas se a gente escolhe um caminho onde y-x^3 é da mesma ordem de xy, surgem valores diferentes. Por exemplo, em y=x^3+x^4 temos
exemplo_formatado
e o quociente tende a 1. Como por outras direções daria 0, o limite não existe.

Passo 7

No (f) analisamos m(x,y)=xy^2x^2-y^2. Em caminhos lineares y=kx isso tende a 0, mas se escolhermos algo como y=x+x^2 o denominador fica da mesma ordem do numerador e o limite dá por exemplo -tfrac12. Como valores distintos aparecem, o limite não existe.

Resposta

(a) 0; (b) não existe; © 0; (d) não existe; (e) não existe; (f) não existe

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