Veritique se a funçào è harnogénea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogencidade.
(a) f(x, y)=x^3+2 x y^2x^2-y^2;
(b) f(x, y)=raizx^4+y^4;
© f(x, y)=5 x^3 y+x^4+3 ;
(d) f(x, y)=2x^2+y^1.

Passo 1

A questão quer que a gente verifique, para cada função f(x,y), se existe um número k tal que f(tx,ty)=t^k·f(x,y) para todo t (isto é, se f é homogênea) e, em caso afirmativo, ache esse grau k.

Passo 2

Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo real t, valer
f(tx,ty)=t^k,f(x,y)
A técnica é calcular f(tx,ty), fatorar potência de t e comparar com f(x,y).

Passo 3

Para (a) calculamos
f(tx,ty)=(tx)^3+2(tx)(ty)^2(tx)^2-(ty)^2 =t^3(x^3+2x y^2)t^2(x^2-y^2) =t^3-2x^3+2xy^2x^2-y^2 =t,f(x,y)
Logo é homogênea de grau k=1.

Passo 4

Para (b) temos
f(tx,ty)=raiz(tx)^4+(ty)^4 =raizt^4(x^4+y^4) =t^2raizx^4+y^4 =t^2,f(x,y)
Logo é homogênea de grau k=2.

Passo 5

Em © aparece um termo constante 3 que não escala com t. De fato,
f(tx,ty)=5t^4x^3y+t^4x^4+3 eq t^kl(5x^3y+x^4+3r)
para nenhum k fixo, então não é homogênea.

Passo 6

Em (d) o denominador é t^2x^2+ty e não dá para extrair uma única potência t^k comum a toda soma. Assim
f(tx,ty)=2t^2x^2+ty
não se escreve como t^k·f(x,y), logo não é homogênea.

Resposta

(a) homogênea de grau 1; (b) homogênea de grau 2; © não homogênea; (d) não homogênea.

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