Veritique se a funçào è harnogénea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogencidade.
(a)
;
(b)
;
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
A questão quer que a gente verifique, para cada função f(x,y), se existe um número k tal que f(tx,ty)=t^k·f(x,y) para todo t (isto é, se f é homogênea) e, em caso afirmativo, ache esse grau k.
Passo 2
Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo real t, valer
A técnica é calcular f(tx,ty), fatorar potência de t e comparar com f(x,y).
Passo 3
Para (a) calculamos
Logo é homogênea de grau k=1.
Passo 4
Para (b) temos
Logo é homogênea de grau k=2.
Passo 5
Em © aparece um termo constante 3 que não escala com t. De fato,
para nenhum k fixo, então não é homogênea.
Passo 6
Em (d) o denominador é
e não dá para extrair uma única potência t^k comum a toda soma. Assim
não se escreve como t^k·f(x,y), logo não é homogênea.
Resposta
(a) homogênea de grau 1; (b) homogênea de grau 2; © não homogênea; (d) não homogênea.