Resolva a EDO:
y^prime+3 x^2 y=6 x^2

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear de primeira ordem: y′ + 3x²y = 6x². Vamos usar o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Para uma EDO da forma y′ + P(x)y = Q(x), o fator integrante é μ(x) = e^{∫P(x)dx}. Aqui P(x) = 3x², então calculamos:
A integral de P(x) é ∫3x² dx = x³. Assim,
μ(x) = e^x³ ³

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por μ(x) para obter uma derivada exata no lado esquerdo:
e^x³y + 3x²e^x³y = 6x²e^x³ ³²³²³
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y·e^{x³}:
ddxl(y e^x³r) = 6x² e^x³ ³²³

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito, fazemos a substituição t = x³, dt = 3x²dx, logo 6x²dx = 2 dt:
y e^x³ = integral 6x² e^x³ dx = integral 2 e^t dt = 2 e^t + C = 2 e^x³ + C ³²³³

Passo 5

Finalmente, isolamos y dividindo por e^{x³}:
y(x) = 2 + C e^-x³ ³

Resposta

y(x) = 2 + C e^{-x³}

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