Resolva a EDO:
Passo 1
O enunciado dá uma EDO linear de primeira ordem: y′ + 3x²y = 6x². Vamos usar o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Para uma EDO da forma y′ + P(x)y = Q(x), o fator integrante é μ(x) = e^{∫P(x)dx}. Aqui P(x) = 3x², então calculamos:
A integral de P(x) é ∫3x² dx = x³. Assim,
A integral de P(x) é ∫3x² dx = x³. Assim,
Passo 3
Multiplicamos a EDO original por μ(x) para obter uma derivada exata no lado esquerdo:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y·e^{x³}:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito, fazemos a substituição t = x³, dt = 3x²dx, logo 6x²dx = 2 dt:
Passo 5
Finalmente, isolamos y dividindo por e^{x³}:
Resposta
y(x) = 2 + C e^{-x³}