Determine as derivadas parciais de z=f(x, y), em que:
f(x, y)=cos (x^2 y)+y^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=cos(x²y)+y³ em relação a x e a y. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia, lembrando que, na derivada parcial, tratamos a outra variável como constante.

Passo 2

Para obter fₓ(x,y), derivamos cos(x²y) em relação a x, tratando y como constante. Aplicando a regra da cadeia: u=x²y ⇒ ∂u/∂x=2xy e (d/dx)cos(u)=−sin(u)·u’. Assim,
fx(x,y)=∂∂xl(cos(x^2y)r)= -sin(x^2y)cdot(2xy)=-2xysin(x^2y)

Passo 3

Para obter f_y(x,y), derivamos cos(x²y) em relação a y (x constante) e somamos a derivada de y³. De novo a regra da cadeia: u=x²y ⇒ ∂u/∂y=x² e (d/dy)cos(u)=−sin(u)·u’. Além disso, (d/dy)y³=3y². Portanto,
fy(x,y)=∂∂yl(cos(x^2y)r)+∂∂y(y^3)= -sin(x^2y)cdot x^2 +3y^2

Resposta

fx(x,y)=-2xysin(x^2y)
fy(x,y)=-x^2sin(x^2y)+3y^2

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