Determine as derivadas parciais de
, em que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=cos(x²y)+y³ em relação a x e a y. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia, lembrando que, na derivada parcial, tratamos a outra variável como constante.
Passo 2
Para obter fₓ(x,y), derivamos cos(x²y) em relação a x, tratando y como constante. Aplicando a regra da cadeia: u=x²y ⇒ ∂u/∂x=2xy e (d/dx)cos(u)=−sin(u)·u’. Assim,
Passo 3
Para obter f_y(x,y), derivamos cos(x²y) em relação a y (x constante) e somamos a derivada de y³. De novo a regra da cadeia: u=x²y ⇒ ∂u/∂y=x² e (d/dy)cos(u)=−sin(u)·u’. Além disso, (d/dy)y³=3y². Portanto,