A questão pede pra gente calcular seis limites de funções de duas variáveis quando . O conteúdo principal é teoria de limites em , e vamos usar: no caso de limite zero, o Teorema do Aperto (squeeze); para mostrar que não existe limite, vamos usar limites por diferentes caminhos; em alguns itens, o sistema de coordenadas polares ajuda a entender a dependência angular.
Passo 2
Para (a), note que é sempre limitado entre e . Então em módulo temos
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Aperto segue que
Passo 3
No item (b), considere a reta y=0. Então
xraizx^2+0^2=x|x|= 1,&x>0,-1,&x<0
Isso mostra que, dependendo da direção de xto0, o valor tende a 1 ou -1. Logo não há limite único, ou seja, o limite não existe.
$$
Para todo xyy-x^3=r^2costhetasinthetar(sintheta-r^2cos^3theta)=rcdotcosthetasinthetasintheta-r^2cos^3theta fixo, theta tende a sintheta-r^2cos^3theta (que pode ser zero, mas aí o numerador também tende a zero mais rápido) de modo que o fator extra é limitado. Então o produto vai a zero quando sintheta. Logo rto0
Quando cos2thetaneq0, isso vai a zero com r. Porém, considere o caminho y=x+x^2. Substituindo e fazendo limitêx\to0, obtém-se y=0
enquanto, por exemplo, em dá zero. Como aparecem limites diferentes, não existe o limite.