Calcule, caso exista.
(a) lim (x, y) (0,0) x sin (1x^2+y^2);
(b) lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2;
© lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2;
(d) lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2;
(e) lim (x, y) (0,0) x yy-x^3;
(f) lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-y^2.

Passo 1

A questão pede pra gente calcular seis limites de funções de duas variáveis quando (x,y)to(0,0). O conteúdo principal é teoria de limites em R^2, e vamos usar: no caso de limite zero, o Teorema do Aperto (squeeze); para mostrar que não existe limite, vamos usar limites por diferentes caminhos; em alguns itens, o sistema de coordenadas polares ajuda a entender a dependência angular.

Passo 2

Para (a), note que sinl(tfrac1x^2+y^2r) é sempre limitado entre -1 e 1. Então em módulo temos
l|xsinl(tfrac1x^2+y^2r)r|<=|x|
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Aperto segue que

Passo 3

No item (b), considere a reta y=0. Então
xraizx^2+0^2=x|x|= 1,&x>0,-1,&x<0
Isso mostra que, dependendo da direção de xto0, o valor tende a 1 ou -1. Logo não há limite único, ou seja, o limite não existe.

Passo 4

Para ©, usamos também o Aperto. Como |x|<=raizx^2+y^2, temos
0<=x^2raizx^2+y^2=|x|cdot|x|raizx^2+y^2<=|x|
E de novo |x|to0 implica

Passo 5

No item (d), é conveniente passar a coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta). Então
xyx^2+y^2=r^2costhetasinthetar^2=costhetasintheta=tfrac12sin(2theta)
Isso depende do ângulo theta. Por exemplo, em theta=0 dá zero, mas em theta=pi/4 1/2. Logo o limite não existe.

Passo 6

Para (e), de novo em polares
(x,y)=(rcostheta,rsintheta)implies xy=r^2costhetasintheta, y-x^3=rsintheta-r^3cos^3theta
Isso dá
$$
\frac{xy}{y-x3}=\frac{r2\cos\theta\sin\theta}{r(\sin\theta-r2\cos3\theta)}=r\cdot\frac{\cos\theta\sin\theta}{\sin\theta-r2\cos3\theta}.
$$
Para todo xyy-x^3=r^2costhetasinthetar(sintheta-r^2cos^3theta)=rcdotcosthetasinthetasintheta-r^2cos^3theta fixo, theta tende a sintheta-r^2cos^3theta (que pode ser zero, mas aí o numerador também tende a zero mais rápido) de modo que o fator extra é limitado. Então o produto vai a zero quando sintheta. Logo
rto0

Passo 7

No item (f), em polares temos
xy^2x^2-y^2=r^3costhetasin^2thetar^2(cos^2theta-sin^2theta)=rcdotcosthetasin^2thetacos2theta
Quando cos2thetaneq0, isso vai a zero com r. Porém, considere o caminho y=x+x^2. Substituindo e fazendo limitêx\to0, obtém-se
y=0
enquanto, por exemplo, em dá zero. Como aparecem limites diferentes, não existe o limite.

Passo 8

Resposta

(a) 0; (b) não existe; © 0; (d) não existe; (e) 0; (f) não existe

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