Discuta a convergência das seguintes sequências,apresentando os argumentos e justificativas pertinentes. No caso de convergência, para onde convergem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir se a sequência $ a_{n} = \frac{4^{n+1} + 3{n}}{5{n}} $ converge ou não. A matéria envolvida aqui é a de limites de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das sequências quando $ n $ cresce indefinidamente. Para resolver isso, vamos precisar aplicar propriedades de potências e entender como diferentes bases com expoentes crescentes se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Observamos que:
Aqui, separei o termo $ 4^{n+1} $ em $ 4 \cdot 4^{n} $ para destacar a base elevada a $ n $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da soma separadamente:
- $ 4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{n} $
- $ \left( \frac{3}{5} \right)^{n} $
Sabemos que $ \left( \frac{4}{5} \right)^{n} $ e $ \left( \frac{3}{5} \right)^{n} $ são termos de progressões geométricas onde a razão é $ \frac{4}{5} $ e $ \frac{3}{5} $, respectivamente.
Passo 4
Para que uma sequência de progressão geométrica $ b_{n} = r^{n} $ convirja, a razão $ r $ precisa satisfazer $ |r| < 1 $. Se isso acontece, o limite quando $ n $ tende ao infinito é 0. Vamos verificar:
- Para $ \left( \frac{4}{5} \right)^{n} $, temos $ r = \frac{4}{5} $, que é menor que 1.
- Para $ \left( \frac{3}{5} \right)^{n} $, temos $ r = \frac{3}{5} $, que também é menor que 1.
Então, ambos os termos vão convergir para 0 quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 5
Aplicando isso na nossa sequência original:
Portanto, a sequência $ a_{n} $ converge para 0.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{4^{n+1} + 3{n}}{5{n}} $ converge para 0 quando $ n $ tende ao infinito.