Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(12) an=cos ^2 n2^n
50
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(13) an=(1+2n)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de duas sequências: an = cos^2 n2^n e bn = l(1 + 2nr)^n, aplicando conceitos de limite de sequência.

Passo 2

Para an = cos^2 n2^n, note que 0 <= cos^2 n <= 1 para todo n. Logo,
0 <= an = cos^2 n2^n <= 12^n

Passo 3

Como já sabemos que limntoinfty12^n = 0 e an está “espremida” entre 0 e 1/2^n, pelo Teorema do Confronto concluímos que limntoinftyan = 0.

Passo 4

Para bn = l(1 + tfrac2nr)^n, reconhecemos a forma padrão de limite que define a função exponencial:
limntoinftyl(1 + xnr)^n = e^x

Passo 5

Aqui temos x = 2, então
limntoinftybn = e^2

Resposta

A sequência an = cos^2 n2^n converge e limntoinftyan = 0. A sequência bn = l(1 + tfrac2nr)^n converge e limntoinftybn = e^2.

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